微分積分例

$y = \cos^{2} (2 π t + 3)$

ステップ 1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = \cos (2 π t + 3)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (2 π t + 3)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (2 π t + 3)]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cos (2 π t + 3)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (2 π t + 3)$ で置き換えます。

$2 \cos (2 π t + 3) \frac{d}{d t} [\cos (2 π t + 3)]$

ステップ 2

$f (t) = \cos (t)$ および $g (t) = 2 π t + 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 π t + 3$ とします。

$2 \cos (2 π t + 3) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 π t + 3])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 π t + 3])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 π t + 3$ で置き換えます。

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) \frac{d}{d t} [2 π t + 3])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $2 π t + 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 π t] + \frac{d}{d t} [3]$ です。

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (\frac{d}{d t} [2 π t] + \frac{d}{d t} [3]))$

ステップ 3.2

$2 π$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 π t$ の微分係数は $2 π \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3]))$

ステップ 3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π + \frac{d}{d t} [3]))$

ステップ 3.5

$3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π + 0))$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$2 π$ と $0$ をたし算します。

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π))$

ステップ 3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \cos (2 π t + 3) (- 2 \sin (2 π t + 3) π)$

ステップ 3.6.3

$- 2 \sin (2 π t + 3) π$ の因数を並べ替えます。

$2 \cos (2 π t + 3) (- 2 π \sin (2 π t + 3))$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$- 4 \cos (2 π t + 3) π \sin (2 π t + 3)$

ステップ 4.2

$- 4 \cos (2 π t + 3) π \sin (2 π t + 3)$ の因数を並べ替えます。

$- 4 π \cos (2 π t + 3) \sin (2 π t + 3)$

微分積分 例

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