微分積分例

$\frac{3 z^{2} + 12 z - 9}{z^{4}}$

ステップ 1

$z^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) {(z^{4})}^{- 1} d z$

ステップ 2

${(z^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) z^{4 \cdot - 1} d z$

ステップ 2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) z^{- 4} d z$

ステップ 3

$(3 z^{2} + 12 z - 9) z^{- 4}$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int (3 z^{2} + 12 z) z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\int 3 z^{2} z^{- 4} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

ステップ 3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 3 z^{2 - 4} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

ステップ 3.4

$2$ から $4$ を引きます。

$\int 3 z^{- 2} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

ステップ 3.5

$z$ を $1$ 乗します。

$\int 3 z^{- 2} + 12 (z^{1} z^{- 4}) - 9 z^{- 4} d z$

ステップ 3.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 3 z^{- 2} + 12 z^{1 - 4} - 9 z^{- 4} d z$

ステップ 3.7

$1$ から $4$ を引きます。

$\int 3 z^{- 2} + 12 z^{- 3} - 9 z^{- 4} d z$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 3 z^{- 2} d z + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

ステップ 5

$3$ は $z$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int z^{- 2} d z + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

ステップ 6

べき乗則では、 $z^{- 2}$ の $z$ に関する積分は $- z^{- 1}$ です。

$3 (- z^{- 1} + C) + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

ステップ 7

$12$ は $z$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 \int z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

ステップ 8

べき乗則では、 $z^{- 3}$ の $z$ に関する積分は $- \frac{1}{2} z^{- 2}$ です。

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2} z^{- 2} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$z^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{z^{- 2}}{2} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

ステップ 9.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $z^{- 2}$ を分母に移動させます。

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

ステップ 10

$- 9$ は $z$ に対して定数なので、 $- 9$ を積分の外に移動させます。

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 \int z^{- 4} d z$

ステップ 11

べき乗則では、 $z^{- 4}$ の $z$ に関する積分は $- \frac{1}{3} z^{- 3}$ です。

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{1}{3} z^{- 3} + C)$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

簡約します。

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ステップ 12.1.1

$z^{- 3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{z^{- 3}}{3} + C)$

ステップ 12.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $z^{- 3}$ を分母に移動させます。

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{1}{3 z^{3}} + C)$

ステップ 12.2

簡約します。

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} - 9 (- \frac{1}{3 z^{3}}) + C$

ステップ 12.3

簡約します。

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ステップ 12.3.1

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + 9 \frac{1}{3 z^{3}} + C$

ステップ 12.3.2

$9$ と $\frac{1}{3 z^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{9}{3 z^{3}} + C$

ステップ 12.3.3

$9$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.3.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 z^{3}} + C$

ステップ 12.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.3.2.1

$3$ を $3 z^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 (z^{3})} + C$

ステップ 12.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 z^{3}} + C$

ステップ 12.3.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3}{z^{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例