微分積分例

$\frac{2 x^{4} - 3 x^{2} + 2}{x^{2} - 6 x + 8}$

ステップ 1

$2 x^{4} - 3 x^{2} + 2$ を $x^{2} - 6 x + 8$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

ステップ 1.2

被除数 $2 x^{4}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{4} - 12 x^{3} + 16 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

ステップ 1.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

ステップ 1.7

被除数 $12 x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

ステップ 1.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

ステップ 1.9

式は被除数から引く必要があるので、 $12 x^{3} - 72 x^{2} + 96 x$ の符号をすべて変更します。

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

ステップ 1.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

ステップ 1.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

ステップ 1.12

被除数 $53 x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

ステップ 1.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

ステップ 1.14

式は被除数から引く必要があるので、 $53 x^{2} - 318 x + 424$ の符号をすべて変更します。

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

ステップ 1.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

$222 x$

$422$

ステップ 1.16

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 2 x^{2} + 12 x + 53 + \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 x^{2} d x + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int x^{2} d x + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

ステップ 5

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 \int x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

ステップ 9

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$2$ を $222 x - 422$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1.1

$2$ を $222 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (111 x) - 422}{x^{2} - 6 x + 8}$

ステップ 9.1.1.1.2

$2$ を $- 422$ で因数分解します。

$\frac{2 (111 x) + 2 (- 211)}{x^{2} - 6 x + 8}$

ステップ 9.1.1.1.3

$2$ を $2 (111 x) + 2 (- 211)$ で因数分解します。

$\frac{2 (111 x - 211)}{x^{2} - 6 x + 8}$

ステップ 9.1.1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x + 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $8$ で、その和が $- 6$ です。

$- 4, - 2$

ステップ 9.1.1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{2 (111 x - 211)}{(x - 4) (x - 2)}$

ステップ 9.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 4}$

ステップ 9.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$

ステップ 9.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x - 4) (x - 2)$ です。

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 9.1.5

$x - 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 9.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 9.1.6

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 9.1.6.2

$2 (111 x - 211)$ を $1$ で割ります。

$2 (111 x - 211) = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 9.1.7

分配則を当てはめます。

$2 (111 x) + 2 \cdot - 211 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 9.1.8

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.8.1

$111$ に $2$ をかけます。

$222 x + 2 \cdot - 211 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 9.1.8.2

$2$ に $- 211$ をかけます。

$222 x - 422 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 9.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.9.1

$x - 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.9.1.1

共通因数を約分します。

$222 x - 422 = \frac{A (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 9.1.9.1.2

$(A) (x - 2)$ を $1$ で割ります。

$222 x - 422 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 9.1.9.2

分配則を当てはめます。

$222 x - 422 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 9.1.9.3

$- 2$ を $A$ の左に移動させます。

$222 x - 422 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 9.1.9.4

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.9.4.1

共通因数を約分します。

$222 x - 422 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 9.1.9.4.2

$(B) (x - 4)$ を $1$ で割ります。

$222 x - 422 = A x - 2 A + (B) (x - 4)$

ステップ 9.1.9.5

分配則を当てはめます。

$222 x - 422 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 4$

ステップ 9.1.9.6

$- 4$ を $B$ の左に移動させます。

$222 x - 422 = A x - 2 A + B x - 4 B$

ステップ 9.1.10

$- 2 A$ を移動させます。

$222 x - 422 = A x + B x - 2 A - 4 B$

ステップ 9.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$222 = A + B$

ステップ 9.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 422 = - 2 A - 4 B$

ステップ 9.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$222 = A + B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

$222 = A + B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

ステップ 9.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$222 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.1

方程式を $A + B = 222$ として書き換えます。

$A + B = 222$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

ステップ 9.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 222 - B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

ステップ 9.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $222 - B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

$- 422 = - 2 A - 4 B$ の $A$ のすべての発生を $222 - B$ で置き換えます。

$- 422 = - 2 (222 - B) - 4 B$

$A = 222 - B$

ステップ 9.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.2.1

$- 2 (222 - B) - 4 B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- 422 = - 2 \cdot 222 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 222 - B$

ステップ 9.3.2.2.1.1.2

$- 2$ に $222$ をかけます。

$- 422 = - 444 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 222 - B$

ステップ 9.3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- 422 = - 444 + 2 B - 4 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 + 2 B - 4 B$

$A = 222 - B$

ステップ 9.3.2.2.1.2

$2 B$ から $4 B$ を引きます。

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

ステップ 9.3.3

$- 422 = - 444 - 2 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.1

方程式を $- 444 - 2 B = - 422$ として書き換えます。

$- 444 - 2 B = - 422$

$A = 222 - B$

ステップ 9.3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.2.1

方程式の両辺に $444$ を足します。

$- 2 B = - 422 + 444$

$A = 222 - B$

ステップ 9.3.3.2.2

$- 422$ と $444$ をたし算します。

$- 2 B = 22$

$A = 222 - B$

$- 2 B = 22$

$A = 222 - B$

ステップ 9.3.3.3

$- 2 B = 22$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.3.1

$- 2 B = 22$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

ステップ 9.3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

ステップ 9.3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

ステップ 9.3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.3.3.1

$22$ を $- 2$ で割ります。

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

ステップ 9.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $- 11$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.4.1

$A = 222 - B$ の $B$ のすべての発生を $- 11$ で置き換えます。

$A = 222 - (- 11)$

$B = - 11$

ステップ 9.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.4.2.1

$222 - (- 11)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.4.2.1.1

$- 1$ に $- 11$ をかけます。

$A = 222 + 11$

$B = - 11$

ステップ 9.3.4.2.1.2

$222$ と $11$ をたし算します。

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

ステップ 9.3.5

すべての解をまとめます。

$A = 233, B = - 11$

ステップ 9.4

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{233}{x - 4} + \frac{- 11}{x - 2}$

ステップ 9.5

分数の前に負数を移動させます。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{233}{x - 4} - \frac{11}{x - 2} d x$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{233}{x - 4} d x + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

ステップ 11

$233$ は $x$ に対して定数なので、 $233$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 \int \frac{1}{x - 4} d x + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

ステップ 12

$u_{1} = x - 4$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$u_{1} = x - 4$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$x - 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 12.1.2

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 12.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 12.1.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 12.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 12.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

ステップ 13

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

ステップ 14

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{11}{x - 2} d x$

ステップ 15

$11$ は $x$ に対して定数なので、 $11$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - (11 \int \frac{1}{x - 2} d x)$

ステップ 16

$11$ に $- 1$ をかけます。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 \int \frac{1}{x - 2} d x$

ステップ 17

$u_{2} = x - 2$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$u_{2} = x - 2$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 17.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 17.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 17.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 17.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 17.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 18

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 19

簡約します。

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| u_{1} |) - 11 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 20

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 20.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| x - 2 |) + C$

ステップ 21

項を並べ替えます。

$\frac{2}{3} x^{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| x - 2 |) + C$

微分積分 例

微分積分例