微分積分例

$\frac{2 v^{2} + 6 v + 5}{(v + 2) {(v + 1)}^{2}}$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{v + 2}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{C}{v + 1}$

ステップ 1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(v + 2) {(v + 1)}^{2}$ です。

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{(v + 2) {(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.5

$v + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.6

${(v + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.6.2

$2 v^{2} + 6 v + 5$ を $1$ で割ります。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

$v + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = \frac{A (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.1.2

$(A) {(v + 1)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = (A) {(v + 1)}^{2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.2

${(v + 1)}^{2}$ を $(v + 1) (v + 1)$ に書き換えます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A ((v + 1) (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.3

分配法則（FOIL法）を使って $(v + 1) (v + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.3.1

分配則を当てはめます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v (v + 1) + 1 (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.3.2

分配則を当てはめます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v \cdot v + v \cdot 1 + 1 (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.3.3

分配則を当てはめます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v \cdot v + v \cdot 1 + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.4.1.1

$v$ に $v$ をかけます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v \cdot 1 + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.4.1.2

$v$ に $1$ をかけます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.4.1.3

$v$ に $1$ をかけます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.4.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + v + 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.4.2

$v$ と $v$ をたし算します。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + 2 v + 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.5

分配則を当てはめます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + A (2 v) + A \cdot 1 + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.6.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A \cdot 1 + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.6.2

$A$ に $1$ をかけます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.7

${(v + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.7.1

共通因数を約分します。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.7.2

$(B) (v + 2)$ を $1$ で割ります。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + (B) (v + 2) + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.8

分配則を当てはめます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + B \cdot 2 + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.9

$2$ を $B$ の左に移動させます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 \cdot B + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.10

${(v + 1)}^{2}$ と $v + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.10.1

$v + 1$ を $(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{v + 1}$

ステップ 1.1.7.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.10.2.1

$1$ を掛けます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{(v + 1) \cdot 1}$

ステップ 1.1.7.10.2.2

共通因数を約分します。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{(v + 1) \cdot 1}$

ステップ 1.1.7.10.2.3

式を書き換えます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(C) (v + 2) (v + 1)}{1}$

ステップ 1.1.7.10.2.4

$(C) (v + 2) (v + 1)$ を $1$ で割ります。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C) (v + 2) (v + 1)$

ステップ 1.1.7.11

分配則を当てはめます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C v + C \cdot 2) (v + 1)$

ステップ 1.1.7.12

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C v + 2 \cdot C) (v + 1)$

ステップ 1.1.7.13

分配法則（FOIL法）を使って $(C v + 2 C) (v + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.13.1

分配則を当てはめます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v (v + 1) + 2 C (v + 1)$

ステップ 1.1.7.13.2

分配則を当てはめます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v \cdot v + C v \cdot 1 + 2 C (v + 1)$

ステップ 1.1.7.13.3

分配則を当てはめます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v \cdot v + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

ステップ 1.1.7.14

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.14.1.1

指数を足して $v$ に $v$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.14.1.1.1

$v$ を移動させます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C (v \cdot v) + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

ステップ 1.1.7.14.1.1.2

$v$ に $v$ をかけます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

ステップ 1.1.7.14.1.2

$C$ に $1$ をかけます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v + 2 C v + 2 C \cdot 1$

ステップ 1.1.7.14.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v + 2 C v + 2 C$

ステップ 1.1.7.14.2

$C v$ と $2 C v$ をたし算します。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

ステップ 1.1.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1

$A$ を移動させます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

ステップ 1.1.8.2

$B$ と $v$ を並べ替えます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

ステップ 1.1.8.3

$2 B$ を移動させます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + C v^{2} + 3 C v + 2 B + 2 C$

ステップ 1.1.8.4

$A$ を移動させます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + B v + C v^{2} + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

ステップ 1.1.8.5

$B v$ を移動させます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + C v^{2} + B v + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

ステップ 1.1.8.6

$2 v A$ を移動させます。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + C v^{2} + 2 v A + B v + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式の両辺から $v^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$2 = A + C$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $v$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$6 = 2 A + B + 3 C$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $v$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$5 = A + 2 B + 2 C$

ステップ 1.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$2 = A + C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$2 = A + C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2 = A + C$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

方程式を $A + C = 2$ として書き換えます。

$A + C = 2$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

ステップ 1.3.1.2

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$A = 2 - C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$A = 2 - C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $2 - C$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$6 = 2 A + B + 3 C$ の $A$ のすべての発生を $2 - C$ で置き換えます。

$6 = 2 (2 - C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$2 (2 - C) + B + 3 C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$6 = 2 \cdot 2 + 2 (- C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

ステップ 1.3.2.2.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$6 = 4 + 2 (- C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

ステップ 1.3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$6 = 4 - 2 C + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 - 2 C + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

ステップ 1.3.2.2.1.2

$- 2 C$ と $3 C$ をたし算します。

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

ステップ 1.3.2.3

$5 = A + 2 B + 2 C$ の $A$ のすべての発生を $2 - C$ で置き換えます。

$5 = (2 - C) + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

ステップ 1.3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1

$- C$ と $2 C$ をたし算します。

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

ステップ 1.3.3

$2$ と $- C$ を並べ替えます。

$A = - C + 2$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

ステップ 1.3.4

$5 = 2 + 2 B + C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

方程式を $2 + 2 B + C = 5$ として書き換えます。

$2 + 2 B + C = 5$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

ステップ 1.3.4.2

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$2 B + C = 5 - 2$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

ステップ 1.3.4.2.2

方程式の両辺から $2 B$ を引きます。

$C = 5 - 2 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

ステップ 1.3.4.2.3

$5$ から $2$ を引きます。

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

ステップ 1.3.5

各方程式の $C$ のすべての発生を $3 - 2 B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$A = - C + 2$ の $C$ のすべての発生を $3 - 2 B$ で置き換えます。

$A = - (3 - 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

ステップ 1.3.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1

$- (3 - 2 B) + 2$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$A = - 1 \cdot 3 - (- 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

ステップ 1.3.5.2.1.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$A = - 3 - (- 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

ステップ 1.3.5.2.1.1.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$A = - 3 + 2 B + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = - 3 + 2 B + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

ステップ 1.3.5.2.1.2

$- 3$ と $2$ をたし算します。

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

ステップ 1.3.5.3

$6 = 4 + B + C$ の $C$ のすべての発生を $3 - 2 B$ で置き換えます。

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

ステップ 1.3.5.4

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.4.1.1

括弧を削除します。

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

ステップ 1.3.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.4.2.1

$4 + B + 3 - 2 B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.4.2.1.1

$4$ と $3$ をたし算します。

$6 = B + 7 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

ステップ 1.3.5.4.2.1.2

$B$ から $2 B$ を引きます。

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

ステップ 1.3.6

$6 = - B + 7$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

方程式を $- B + 7 = 6$ として書き換えます。

$- B + 7 = 6$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

ステップ 1.3.6.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$- B = 6 - 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

ステップ 1.3.6.2.2

$6$ から $7$ を引きます。

$- B = - 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$- B = - 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

ステップ 1.3.6.3

$- B = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.3.1

$- B = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

ステップ 1.3.6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{B}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

ステップ 1.3.6.3.2.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

ステップ 1.3.6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.3.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

ステップ 1.3.7

各方程式の $B$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$A = 2 B - 1$ の $B$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$A = 2 (1) - 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

ステップ 1.3.7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.2.1

$2 (1) - 1$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.2.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$A = 2 - 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

ステップ 1.3.7.2.1.2

$2$ から $1$ を引きます。

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

ステップ 1.3.7.3

$C = 3 - 2 B$ の $B$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$C = 3 - 2 \cdot 1$

$A = 1$

$B = 1$

ステップ 1.3.7.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.4.1

$3 - 2 \cdot 1$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.4.1.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$C = 3 - 2$

$A = 1$

$B = 1$

ステップ 1.3.7.4.1.2

$3$ から $2$ を引きます。

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

ステップ 1.3.8

すべての解をまとめます。

$C = 1, A = 1, B = 1$

ステップ 1.4

$\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{C}{v + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{v + 2} + \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{1}{v + 1}$

ステップ 1.5

式から0を削除します。

$\int \frac{1}{v + 2} + \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{1}{v + 1} d v$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{v + 2} d v + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

ステップ 3

$u_{1} = v + 2$ とします。次に $d u_{1} = d v$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$u_{1} = v + 2$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d v}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$v + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d v} [v + 2]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $v + 2$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$ です。

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d v} [2]$

ステップ 3.1.4

$2$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

ステップ 4

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

ステップ 5

$u_{2} = v + 1$ とします。次に $d u_{2} = d v$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u_{2} = v + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d v}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$v + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d v} [v + 1]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $v + 1$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ です。

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d v} [1]$

ステップ 5.1.4

$1$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

${u_{2}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

ステップ 6.2

${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

ステップ 6.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

ステップ 7

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- 2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $- {u_{2}}^{- 1}$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \int \frac{1}{v + 1} d v$

ステップ 8

$u_{3} = v + 1$ とします。次に $d u_{3} = d v$ 。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$u_{3} = v + 1$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d v}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$v + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d v} [v + 1]$

ステップ 8.1.2

総和則では、 $v + 1$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ です。

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d v} [1]$

ステップ 8.1.4

$1$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 8.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 8.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 9

$\frac{1}{u_{3}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $\ln (| u_{3} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \ln (| u_{3} |) + C$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

簡約します。

$\ln (| u_{1} |) - \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{3} |) + C$

ステップ 10.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$- \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{1} | | u_{3} |) + C$

ステップ 10.2.2

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$- \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{1} \cdot u_{3} |) + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$u_{2}$ のすべての発生を $v + 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| u_{1} \cdot u_{3} |) + C$

ステップ 11.2

$u_{1}$ のすべての発生を $v + 2$ で置き換えます。

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| (v + 2) u_{3} |) + C$

ステップ 11.3

$u_{3}$ のすべての発生を $v + 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| (v + 2) (v + 1) |) + C$

微分積分 例

微分積分例