微分積分例

$y = \sqrt{2 - x}$ , $x = 1$

ステップ 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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ステップ 1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = \sqrt{2 - (1)}$

ステップ 1.2

$\sqrt{2 - (1)}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = \sqrt{2 - 1}$

ステップ 1.2.2

$2$ から $1$ を引きます。

$y = \sqrt{1}$

ステップ 1.2.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$y = 1$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 - x}$ を ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 2 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 - x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 - x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

ステップ 2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

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ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

ステップ 2.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x]$

ステップ 2.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

ステップ 2.8

総和則では、 $2 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.9

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 2.13

分数をまとめます。

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ステップ 2.13.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

ステップ 2.13.2

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{- 1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.14

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$- \frac{1}{2 {(2 - (1))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.15

簡約します。

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ステップ 2.15.1

分母を簡約します。

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ステップ 2.15.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2 {(2 - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.15.1.2

$2$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.15.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.15.2

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- \frac{1}{2}$ と与えられた点 $(1, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.4

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.5

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

ステップ 3.3.1.5.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 1$

ステップ 3.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

ステップ 3.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 2}{2}$

ステップ 3.3.2.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 3.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 3.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{3}{2}$

ステップ 3.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$

ステップ 4

微分積分 例

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