微分積分例

$f (x) = \sqrt{1 - x}$ , $a = 0$

ステップ 1

$a$ で線形化を求めるために使用する関数を考えます。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

ステップ 2

$a = 0$ の値を線形化関数に代入します。

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

ステップ 3

$f (0)$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \sqrt{1 - (0)}$

ステップ 3.2

$\sqrt{1 - (0)}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

括弧を削除します。

$\sqrt{1 - (0)}$

ステップ 3.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\sqrt{1 + 0}$

ステップ 3.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\sqrt{1}$

ステップ 3.2.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$1$

ステップ 4

微分係数を求め、 $0$ で値を求めます。

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ステップ 4.1

$f (x) = \sqrt{1 - x}$ の微分係数を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x}$ を ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 4.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 4.1.2.3

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 4.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 4.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 4.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 4.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 4.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 4.1.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 4.1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 4.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 4.1.8

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 4.1.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 4.1.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 4.1.13

分数をまとめます。

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ステップ 4.1.13.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

ステップ 4.1.13.2

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.13.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$- \frac{1}{2 {(1 - (0))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$1$ から $0$ を引きます。

$- \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 5

成分を線形化関数に代入し、 $a$ における線形化を求めます。

$L (x) = 1 - \frac{1}{2} (x - 0)$

ステップ 6

各項を簡約します。

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ステップ 6.1

$x$ から $0$ を引きます。

$L (x) = 1 - \frac{1}{2} x$

ステップ 6.2

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$L (x) = 1 - \frac{x}{2}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例