微分積分例

$\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (d x)$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$d$ と $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\int \frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot x d x$

ステップ 1.2

$\frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\int \frac{d x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 2

$d$ は $x$ に対して定数なので、 $d$ を積分の外に移動させます。

$d \int \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 3

$u = x^{2} + 2$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = x^{2} + 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x^{2} + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 3.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$d \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$d \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

ステップ 4.2

$2$ を $u^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$d \int \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$d (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

ステップ 6

分数をまとめます。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ と $d$ をまとめます。

$\frac{d}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 6.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.2.1

$u^{\frac{3}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{d}{2} \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 6.2.2

${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 6.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 6.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

ステップ 6.2.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

ステップ 6.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{2} \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{- \frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ です。

$\frac{d}{2} (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{d}{2} (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ を $\frac{d}{2} (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ に書き換えます。

$\frac{d}{2} (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{d}{2} \cdot \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 8.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{2} (- \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 8.2.3

$\frac{d}{2}$ に $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$- \frac{d \cdot 2}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 8.2.4

$2$ を $d$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \cdot d}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 8.2.5

共通因数を約分します。

$- \frac{2 d}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 8.2.6

式を書き換えます。

$- \frac{d}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 2$ で置き換えます。

$- \frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + C$

微分積分 例

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