微分積分例

$\frac{1}{1 + \cos (2 x)}$

ステップ 1

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

ステップ 2.2

$2$ を $1 + \cos (u_{1})$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

ステップ 4

2倍角の公式を利用して $\cos (x)$ を $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ に変換します。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を利用し $1$ を $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ に変換します。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ から ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ を引きます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

ステップ 6.2

${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ と ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

ステップ 6.3

$2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 7

独立変数に $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$ を掛ける

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

ステップ 8

まとめる。

$\frac{1}{2} \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

ステップ 9

${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

ステップ 10

正弦と余弦に関して $\sec (\frac{u}{2})$ を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

ステップ 11

積の法則を $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

ステップ 12

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

ステップ 13

$2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ を掛けます。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 13.2

$\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ と $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

ステップ 14

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 15

正弦と余弦に関して $\sec (\frac{u}{2})$ を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 16

積の法則を $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 17

まとめる。

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

ステップ 18

$\cos^{2} (\frac{u}{2})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

ステップ 18.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 19

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 20

$1$ を掛けます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

ステップ 21

分数を分解します。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 22

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ を $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ に変換します。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

ステップ 23

分数をまとめます。

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ステップ 23.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

ステップ 23.2

$\frac{1}{2}$ と $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

ステップ 24

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1})$

ステップ 25

$u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ すると、 $2 d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 25.1

$u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 25.1.1

$\frac{u_{1}}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

ステップ 25.1.2

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $\frac{u_{1}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 25.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 25.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 25.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2})$

ステップ 26

簡約します。

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ステップ 26.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2})$

ステップ 26.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2})$

ステップ 26.3

$2$ を $\sec^{2} (u_{2})$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 27

$2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}))$

ステップ 28

簡約します。

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ステップ 28.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 28.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 28.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 28.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 28.3

$\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 29

$\tan (u_{2})$ の微分係数が $\sec^{2} (u_{2})$ なので、 $\sec^{2} (u_{2})$ の積分は $\tan (u_{2})$ です。

$\frac{1}{2} (\tan (u_{2}) + C)$

ステップ 30

簡約します。

$\frac{1}{2} \tan (u_{2}) + C$

ステップ 31

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 31.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{u_{1}}{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C$

ステップ 31.2

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

ステップ 32

簡約します。

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ステップ 32.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 x}{2}$ を約分します。

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ステップ 32.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

ステップ 32.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \tan (\frac{x}{1}) + C$

ステップ 32.2

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} \tan (x) + C$

微分積分 例

微分積分例