微分積分例

$3 e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

ステップ 2

$u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ とします。次に $d u_{2} = - 15 e^{- 3 x} d x$ すると、 $- \frac{1}{15} d u_{2} = e^{- 3 x} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$7 + 5 e^{- 3 x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [7 + 5 e^{- 3 x}]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $7 + 5 e^{- 3 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

ステップ 2.1.2.2

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 e^{- 3 x}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ です。

$0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

ステップ 2.1.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- 3 x$ とします。

$0 + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 2.1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 + 5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 2.1.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- 3 x$ で置き換えます。

$0 + 5 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 2.1.3.3

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1))$

ステップ 2.1.3.5

$- 3$ に $1$ をかけます。

$0 + 5 (e^{- 3 x} \cdot - 3)$

ステップ 2.1.3.6

$- 3$ を $e^{- 3 x}$ の左に移動させます。

$0 + 5 (- 3 \cdot e^{- 3 x})$

ステップ 2.1.3.7

$- 3$ に $5$ をかけます。

$0 - 15 e^{- 3 x}$

ステップ 2.1.4

$0$ から $15 e^{- 3 x}$ を引きます。

$- 15 e^{- 3 x}$

ステップ 2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 15} d u_{2}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分数の前に負数を移動させます。

$3 \int {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{15}) d u_{2}$

ステップ 3.2

${u_{2}}^{2}$ と $\frac{1}{15}$ をまとめます。

$3 \int - \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

ステップ 4

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$3 (- \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2})$

ステップ 5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

ステップ 6

$\frac{1}{15}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{15}$ を積分の外に移動させます。

$- 3 (\frac{1}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{15}$ と $- 3$ をまとめます。

$\frac{- 3}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 7.2

$- 3$ と $15$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1)}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 7.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 7.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 8

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ を $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$- \frac{1}{3 \cdot 5} {u_{2}}^{3} + C$

ステップ 9.2.2

$3$ に $5$ をかけます。

$- \frac{1}{15} {u_{2}}^{3} + C$

ステップ 10

$u_{2}$ のすべての発生を $7 + 5 e^{- 3 x}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{15} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{3} + C$

微分積分 例

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