微分積分例

$5 \sqrt{x^{2} + 6}$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int \sqrt{x^{2} + 6} d x$

ステップ 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sqrt{6} \tan (t)$ とします。次に $d x = \sec^{2} (t) \sqrt{6} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec^{2} (t) \sqrt{6}$ は正であることに注意します。

$5 \int \sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

積の法則を $\sqrt{6} \tan (t)$ に当てはめます。

$5 \int \sqrt{{\sqrt{6}}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.1.2

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$5 \int \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 \int \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.1.2.4.2

式を書き換えます。

$5 \int \sqrt{6^{1} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.1.2.5

指数を求めます。

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.1.3

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.1.3.4.2

式を書き換えます。

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{1}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.1.3.5

指数を求めます。

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.2

$6$ を $6 \tan^{2} (t) + 6$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.2.1

$6$ を $6 \tan^{2} (t)$ で因数分解します。

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.2.2

$6$ を $6$ で因数分解します。

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.2.3

$6$ を $6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)$ で因数分解します。

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t) + 1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$5 \int \sqrt{6 \sec^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.4

$6$ と $\sec^{2} (t)$ を並べ替えます。

$5 \int \sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$5 \int \sec (t) \sqrt{6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$5 \int \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

ステップ 3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \int {\sec (t)}^{2 + 1} \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

ステップ 3.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$5 \int \sec^{3} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

ステップ 3.2.4

$\sqrt{6}$ を $1$ 乗します。

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) d t$

ステップ 3.2.5

$\sqrt{6}$ を $1$ 乗します。

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) d t$

ステップ 3.2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{1 + 1} d t$

ステップ 3.2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{2} d t$

ステップ 3.2.8

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$5 \int \sec^{3} (t) {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

ステップ 3.2.8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

ステップ 3.2.8.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

ステップ 3.2.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.8.4.1

共通因数を約分します。

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

ステップ 3.2.8.4.2

式を書き換えます。

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{1} d t$

ステップ 3.2.8.5

指数を求めます。

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6 d t$

ステップ 3.2.9

$6$ を $\sec^{3} (t)$ の左に移動させます。

$5 \int 6 \sec^{3} (t) d t$

ステップ 4

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$5 (6 \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 5

くくりだして簡約します。

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ステップ 5.1

$6$ に $5$ をかけます。

$30 \int \sec^{3} (t) d t$

ステップ 5.2

$\sec (t)$ を $\sec^{3} (t)$ で因数分解します。

$30 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

ステップ 6

$u = \sec (t)$ と $d v = \sec^{2} (t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

ステップ 7

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

ステップ 8

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 10.2

$\tan^{2} (t)$ と $\sec (t)$ を並べ替えます。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

ステップ 11

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

ステップ 12

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 12.1

累乗法を積に書き換えます。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 12.3

$\sec (t)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 13

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

ステップ 14

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

ステップ 16

$1$ と $1$ をたし算します。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 17

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

ステップ 18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

ステップ 19

$2$ と $1$ をたし算します。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 20

単一積分を複数積分に分割します。

$30 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 21

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 22

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 23

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 23.1

分配則を当てはめます。

$30 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 23.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$30 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 24

$\int \sec^{3} (t) d t$ を解くと、 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ であることが分かります。

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

ステップ 25

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ に $1$ をかけます。

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

ステップ 26

簡約します。

$30 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 27

簡約します。

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ステップ 27.1

$30$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{30}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 27.2

$30$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 27.2.1

$2$ を $30$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 15}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 27.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 27.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 27.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{15}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 27.2.2.4

$15$ を $1$ で割ります。

$15 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 28

$t$ のすべての発生を $\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})$ で置き換えます。

$15 (\sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) |)) + C$

ステップ 29

項を並べ替えます。

$15 (\sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) |)) + C$

微分積分 例

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