微分積分例

$\frac{x - z}{y + z}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$x - z$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{x - z}{y + z}$ の微分係数は $(x - z) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y + z}]$ です。

$(x - z) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y + z}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{y + z}$ を ${(y + z)}^{- 1}$ に書き換えます。

$(x - z) \frac{d}{d y} [{(y + z)}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (y) = y^{- 1}$ および $g (y) = y + z$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y + z$ とします。

$(x - z) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y + z])$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - z) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y + z])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $y + z$ で置き換えます。

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y + z])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $y + z$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ です。

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]))$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d y} [z]))$

ステップ 3.3

$z$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $z$ の微分係数は $0$ です。

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (1 + 0))$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} \cdot 1)$

ステップ 3.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(x - z) (- \frac{1}{{(y + z)}^{2}})$

ステップ 4.2

$(x - z) (- \frac{1}{{(y + z)}^{2}})$ の因数を並べ替えます。

$- (x - z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$(- x - - z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

ステップ 4.4

$- - z$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(- x + 1 z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

$z$ に $1$ をかけます。

$(- x + z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

ステップ 4.5

$- x + z$ に $\frac{1}{{(y + z)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{- x + z}{{(y + z)}^{2}}$

ステップ 4.6

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{- (x) + z}{{(y + z)}^{2}}$

ステップ 4.7

$- 1$ を $z$ で因数分解します。

$\frac{- (x) - 1 (- z)}{{(y + z)}^{2}}$

ステップ 4.8

$- 1$ を $- (x) - 1 (- z)$ で因数分解します。

$\frac{- (x - z)}{{(y + z)}^{2}}$

ステップ 4.9

$- (x - z)$ を $- 1 (x - z)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x - z)}{{(y + z)}^{2}}$

ステップ 4.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x - z}{{(y + z)}^{2}}$

微分積分 例

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