微分積分例

${(\frac{1}{y^{9}})}^{6}$

ステップ 1

$f (y) = y^{6}$ および $g (y) = \frac{1}{y^{9}}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{y^{9}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

ステップ 1.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 u^{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{y^{9}}$ で置き換えます。

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{y^{9}}$ を ${(y^{9})}^{- 1}$ に書き換えます。

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{9})}^{- 1}]$

ステップ 2.2

${(y^{9})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [y^{9 \cdot - 1}]$

ステップ 2.2.2

$9$ に $- 1$ をかけます。

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [y^{- 9}]$

ステップ 2.3

$n = - 9$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} (- 9 y^{- 10})$

ステップ 2.4

$- 9$ に $6$ をかけます。

$- 54 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} y^{- 10}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 54 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{1}{y^{10}}$

ステップ 3.2

積の法則を $\frac{1}{y^{9}}$ に当てはめます。

$- 54 \frac{1^{5}}{{(y^{9})}^{5}} \frac{1}{y^{10}}$

ステップ 3.3

項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- 54 \frac{1}{{(y^{9})}^{5}} \frac{1}{y^{10}}$

ステップ 3.3.2

${(y^{9})}^{5}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 54 \frac{1}{y^{9 \cdot 5}} \frac{1}{y^{10}}$

ステップ 3.3.2.2

$9$ に $5$ をかけます。

$- 54 \frac{1}{y^{45}} \frac{1}{y^{10}}$

ステップ 3.3.3

$- 54$ と $\frac{1}{y^{45}}$ をまとめます。

$\frac{- 54}{y^{45}} \cdot \frac{1}{y^{10}}$

ステップ 3.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{54}{y^{45}} \cdot \frac{1}{y^{10}}$

ステップ 3.3.5

$\frac{1}{y^{10}}$ に $\frac{54}{y^{45}}$ をかけます。

$- \frac{54}{y^{10} y^{45}}$

ステップ 3.3.6

指数を足して $y^{10}$ に $y^{45}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{54}{y^{10 + 45}}$

ステップ 3.3.6.2

$10$ と $45$ をたし算します。

$- \frac{54}{y^{55}}$

微分積分 例

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