微分積分例

${(\frac{e^{y} - e^{- y}}{2})}^{2}$

ステップ 1

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ で置き換えます。

$2 \frac{e^{y} - e^{- y}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$2$ と $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

ステップ 2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

ステップ 2.2.2

$e^{y} - e^{- y}$ を $1$ で割ります。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{1}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}]$ です。

$(e^{y} - e^{- y}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}])$

ステップ 2.4

総和則では、 $e^{y} - e^{- y}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ です。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ は $a^{y} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

ステップ 4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- e^{- y}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ です。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - \frac{d}{d y} [e^{- y}])$

ステップ 5

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = - y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- y$ とします。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- y]))$

ステップ 5.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- y]))$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- y$ で置き換えます。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]))$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 6.2

掛け算します。

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ステップ 6.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + 1 e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 6.2.2

$e^{- y}$ に $1$ をかけます。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \cdot 1)$

ステップ 6.4

$e^{- y}$ に $1$ をかけます。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$(e^{y} \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

ステップ 7.2

項をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$e^{y}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$(\frac{e^{y}}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

ステップ 7.2.2

$\frac{1}{2}$ と $e^{- y}$ をまとめます。

$(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

ステップ 7.3

$(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$ の因数を並べ替えます。

$(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

ステップ 7.4

分配法則（FOIL法）を使って $(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$ を展開します。

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ステップ 7.4.1

分配則を当てはめます。

$e^{y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

ステップ 7.4.2

分配則を当てはめます。

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

ステップ 7.4.3

分配則を当てはめます。

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

ステップ 7.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 7.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.5.1.1

$e^{y} \frac{e^{y}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1.1.1

$e^{y}$ と $\frac{e^{y}}{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{y} e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

ステップ 7.5.1.1.2

指数を足して $e^{y}$ に $e^{y}$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{y + y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

ステップ 7.5.1.1.2.2

$y$ と $y$ をたし算します。

$\frac{e^{2 y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

ステップ 7.5.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{2 y}}{2} - e^{y} \frac{e^{- y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

ステップ 7.5.1.3

$- e^{y} \frac{e^{- y}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1.3.1

$\frac{e^{- y}}{2}$ と $e^{y}$ をまとめます。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

ステップ 7.5.1.3.2

指数を足して $e^{- y}$ に $e^{y}$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1.3.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

ステップ 7.5.1.3.2.2

$- y$ と $y$ をたし算します。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

ステップ 7.5.1.3.3

$e^{0}$ を簡約します。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

ステップ 7.5.1.4

$e^{- y} \frac{e^{y}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1.4.1

$e^{- y}$ と $\frac{e^{y}}{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

ステップ 7.5.1.4.2

指数を足して $e^{- y}$ に $e^{y}$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1.4.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

ステップ 7.5.1.4.2.2

$- y$ と $y$ をたし算します。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

ステップ 7.5.1.4.3

$e^{0}$ を簡約します。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

ステップ 7.5.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$

ステップ 7.5.1.6

$- e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1.6.1

$\frac{e^{- y}}{2}$ と $e^{- y}$ をまとめます。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y} e^{- y}}{2}$

ステップ 7.5.1.6.2

指数を足して $e^{- y}$ に $e^{- y}$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1.6.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y - y}}{2}$

ステップ 7.5.1.6.2.2

$- y$ から $y$ を引きます。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

ステップ 7.5.2

$- \frac{1}{2}$ と $\frac{1}{2}$ をたし算します。

$\frac{e^{2 y}}{2} + 0 - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

ステップ 7.5.3

$\frac{e^{2 y}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

微分積分 例

微分積分例