微分積分例

$y = x \sin (x^{2})$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.2

$2$ を $\cos (x^{2})$ の左に移動させます。

$x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

$\sin (x^{2})$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2})$

ステップ 9.2

項を並べ替えます。

$2 x^{2} \cos (x^{2}) + \sin (x^{2})$

微分積分 例

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