微分積分例

$y = x {(x^{3} + 7)}^{5}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{3} + 7)}^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 7)}^{5}] + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x^{3} + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3} + 7$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{3} + 7$ で置き換えます。

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{3} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2})) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4.2

$3$ に $5$ をかけます。

$x (15 {(x^{3} + 7)}^{4} x^{2}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} x^{1} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + 1} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \cdot 1$

ステップ 8

${(x^{3} + 7)}^{5}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

${(x^{3} + 7)}^{4}$ を $x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5}$ で因数分解します。

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ステップ 9.1.1

${(x^{3} + 7)}^{4}$ を $x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4})$ で因数分解します。

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{5}$

ステップ 9.1.2

${(x^{3} + 7)}^{4}$ を ${(x^{3} + 7)}^{5}$ で因数分解します。

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} + 7)$

ステップ 9.1.3

${(x^{3} + 7)}^{4}$ を ${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} + 7)$ で因数分解します。

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15) + x^{3} + 7)$

ステップ 9.2

項をまとめます。

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ステップ 9.2.1

$15$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

${(x^{3} + 7)}^{4} (15 \cdot x^{3} + x^{3} + 7)$

ステップ 9.2.2

$15 x^{3}$ と $x^{3}$ をたし算します。

${(x^{3} + 7)}^{4} (16 x^{3} + 7)$

微分積分 例

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