微分積分例

$y = x {(x^{4} + 7)}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{4} + 7)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 7)}^{3}] + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{4} + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4} + 7$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{4} + 7$ で置き換えます。

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{4} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3} + 0)) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3})) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4.2

$4$ に $3$ をかけます。

$x (12 {(x^{4} + 7)}^{2} x^{3}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{3} x^{1} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{3 + 1} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

$3$ と $1$ をたし算します。

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \cdot 1$

ステップ 8

${(x^{4} + 7)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

${(x^{4} + 7)}^{2}$ を $x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 9.1.1

${(x^{4} + 7)}^{2}$ を $x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2})$ で因数分解します。

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{3}$

ステップ 9.1.2

${(x^{4} + 7)}^{2}$ を ${(x^{4} + 7)}^{3}$ で因数分解します。

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} + 7)$

ステップ 9.1.3

${(x^{4} + 7)}^{2}$ を ${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} + 7)$ で因数分解します。

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12) + x^{4} + 7)$

ステップ 9.2

項をまとめます。

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ステップ 9.2.1

$12$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

${(x^{4} + 7)}^{2} (12 \cdot x^{4} + x^{4} + 7)$

ステップ 9.2.2

$12 x^{4}$ と $x^{4}$ をたし算します。

${(x^{4} + 7)}^{2} (13 x^{4} + 7)$

ステップ 9.3

${(x^{4} + 7)}^{2}$ を $(x^{4} + 7) (x^{4} + 7)$ に書き換えます。

$(x^{4} + 7) (x^{4} + 7) (13 x^{4} + 7)$

ステップ 9.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{4} + 7) (x^{4} + 7)$ を展開します。

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ステップ 9.4.1

分配則を当てはめます。

$(x^{4} (x^{4} + 7) + 7 (x^{4} + 7)) (13 x^{4} + 7)$

ステップ 9.4.2

分配則を当てはめます。

$(x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 7 + 7 (x^{4} + 7)) (13 x^{4} + 7)$

ステップ 9.4.3

分配則を当てはめます。

$(x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

ステップ 9.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 9.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.5.1.1

指数を足して $x^{4}$ に $x^{4}$ を掛けます。

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ステップ 9.5.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x^{4 + 4} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

ステップ 9.5.1.1.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$(x^{8} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

ステップ 9.5.1.2

$7$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$(x^{8} + 7 \cdot x^{4} + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

ステップ 9.5.1.3

$7$ に $7$ をかけます。

$(x^{8} + 7 x^{4} + 7 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$

ステップ 9.5.2

$7 x^{4}$ と $7 x^{4}$ をたし算します。

$(x^{8} + 14 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$

ステップ 9.6

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{8} + 14 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$ を展開します。

$x^{8} (13 x^{4}) + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

ステップ 9.7

各項を簡約します。

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ステップ 9.7.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$13 x^{8} x^{4} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

ステップ 9.7.2

指数を足して $x^{8}$ に $x^{4}$ を掛けます。

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ステップ 9.7.2.1

$x^{4}$ を移動させます。

$13 (x^{4} x^{8}) + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

ステップ 9.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$13 x^{4 + 8} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

ステップ 9.7.2.3

$4$ と $8$ をたし算します。

$13 x^{12} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

ステップ 9.7.3

$7$ を $x^{8}$ の左に移動させます。

$13 x^{12} + 7 \cdot x^{8} + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

ステップ 9.7.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{4} x^{4} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

ステップ 9.7.5

指数を足して $x^{4}$ に $x^{4}$ を掛けます。

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ステップ 9.7.5.1

$x^{4}$ を移動させます。

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 (x^{4} x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

ステップ 9.7.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{4 + 4} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

ステップ 9.7.5.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{8} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

ステップ 9.7.6

$14$ に $13$ をかけます。

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

ステップ 9.7.7

$7$ に $14$ をかけます。

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

ステップ 9.7.8

$13$ に $49$ をかけます。

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 49 \cdot 7$

ステップ 9.7.9

$49$ に $7$ をかけます。

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 343$

ステップ 9.8

$7 x^{8}$ と $182 x^{8}$ をたし算します。

$13 x^{12} + 189 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 343$

ステップ 9.9

$98 x^{4}$ と $637 x^{4}$ をたし算します。

$13 x^{12} + 189 x^{8} + 735 x^{4} + 343$

微分積分 例

微分積分例