微分積分例

$y = x + \frac{a}{x} - \frac{b}{x^{3}}$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x + \frac{a}{x} - \frac{b}{x^{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

ステップ 1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{a}{x}$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$1 + a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$1 + a \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

ステップ 2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + a (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- b$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{b}{x^{3}}$ の微分係数は $- b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$1 + a (- x^{- 2}) - b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$1 + a (- x^{- 2}) - b \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

ステップ 3.5

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

ステップ 3.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

ステップ 3.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{- 6} x^{2})$

ステップ 3.7

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

ステップ 3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{2 - 6})$

ステップ 3.7.3

$2$ から $6$ を引きます。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{- 4})$

ステップ 3.8

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$1 + a (- x^{- 2}) + 3 b x^{- 4}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 + a (- \frac{1}{x^{2}}) + 3 b x^{- 4}$

ステップ 4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 + a (- \frac{1}{x^{2}}) + 3 b \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$a$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$1 - \frac{a}{x^{2}} + 3 b \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 4.3.2

$3$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$1 - \frac{a}{x^{2}} + b \frac{3}{x^{4}}$

ステップ 4.3.3

$b$ と $\frac{3}{x^{4}}$ をまとめます。

$1 - \frac{a}{x^{2}} + \frac{b \cdot 3}{x^{4}}$

ステップ 4.3.4

$3$ を $b$ の左に移動させます。

$1 - \frac{a}{x^{2}} + \frac{3 b}{x^{4}}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{3 b}{x^{4}} + 1$

微分積分 例

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