微分積分例

$y = x + \sqrt{1 + x^{2}}$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x + \sqrt{1 + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$

ステップ 1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + x^{2}$ とします。

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x)$

ステップ 2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x)$

ステップ 2.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x)$

ステップ 2.8

公分母の分子をまとめます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x)$

ステップ 2.9

分子を簡約します。

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ステップ 2.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x)$

ステップ 2.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x)$

ステップ 2.10

分数の前に負数を移動させます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x)$

ステップ 2.11

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

ステップ 2.12

$\frac{1}{2}$ と ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$1 + \frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

ステップ 2.13

$2$ と $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$1 + \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x$

ステップ 2.14

$\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$1 + \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

ステップ 2.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.16

共通因数を約分します。

$1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.17

式を書き換えます。

$1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3

項を並べ替えます。

$\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 1$

微分積分 例

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