微分積分例

$y = x (9 - x^{2})$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = 9 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [9 - x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $9 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$x (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$x \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- (2 x)) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x (- 2 x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 (x^{1} x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 (x^{1} x^{1}) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 x^{1 + 1} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \cdot 1$

ステップ 8

項を加えて簡約します。

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ステップ 8.1

$9 - x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 2 x^{2} + 9 - x^{2}$

ステップ 8.2

$- 2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$- 3 x^{2} + 9$

微分積分 例

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