微分積分例

$y = x (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6)$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 3 x^{2} - 6] + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$x (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$x (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4

$3$ に $4$ をかけます。

$x (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x (12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.7

$2$ に $3$ をかけます。

$x (12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.8

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$x (12 x^{2} + 6 x + 0) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.9

$12 x^{2} + 6 x$ と $0$ をたし算します。

$x (12 x^{2} + 6 x) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (12 x^{2} + 6 x) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \cdot 1$

ステップ 2.11

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$ に $1$ をかけます。

$x (12 x^{2} + 6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$x (12 x^{2}) + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

ステップ 3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$12 (x^{1} x^{2}) + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

ステップ 3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$12 x^{1 + 2} + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

ステップ 3.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$12 x^{3} + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

ステップ 3.2.4

$x$ を $1$ 乗します。

$12 x^{3} + 6 (x^{1} x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

ステップ 3.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$12 x^{3} + 6 (x^{1} x^{1}) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

ステップ 3.2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$12 x^{3} + 6 x^{1 + 1} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

ステップ 3.2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$12 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

ステップ 3.2.8

$12 x^{3}$ と $4 x^{3}$ をたし算します。

$16 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{2} - 6$

ステップ 3.2.9

$6 x^{2}$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$16 x^{3} + 9 x^{2} - 6$

微分積分 例

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