微分積分例

$y = \sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x))$

ステップ 1

総和則では、 $\sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x))$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\cos (\ln (x)) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

ステップ 2.3

$\cos (\ln (x))$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\ln (x)$ とします。

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.1.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} - \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} - \sin (\ln (x)) \frac{1}{x}$

ステップ 3.3

$\frac{1}{x}$ と $\sin (\ln (x))$ をまとめます。

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} - \frac{\sin (\ln (x))}{x}$

微分積分 例