微分積分例

$\frac{7 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$7 x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{7 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$ の微分係数は $7 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}]$ です。

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}]$

ステップ 1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$ を ${({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}]$

ステップ 1.2.2

${({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{(7 x + 13 y)}^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{(7 x + 13 y)}^{- 2}]$

ステップ 2

$f (y) = y^{- 2}$ および $g (y) = 7 x + 13 y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x + 13 y$ とします。

$7 x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

ステップ 2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 x^{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $7 x + 13 y$ で置き換えます。

$7 x^{2} (- 2 {(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 2$ に $7$ をかけます。

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

ステップ 3.2

総和則では、 $7 x + 13 y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [7 x] + \frac{d}{d y} [13 y]$ です。

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (\frac{d}{d y} [7 x] + \frac{d}{d y} [13 y]))$

ステップ 3.3

$7 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $7 x$ の微分係数は $0$ です。

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d y} [13 y]))$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d y} [13 y]$ をたし算します。

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [13 y])$

ステップ 3.5

$13$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $13 y$ の微分係数は $13 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (13 \frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$13$ を ${(7 x + 13 y)}^{- 3}$ の左に移動させます。

$- 14 x^{2} (13 \cdot {(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 3.6.2

$13$ に $- 14$ をかけます。

$- 182 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 182 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \cdot 1)$

ステップ 3.8

${(7 x + 13 y)}^{- 3}$ に $1$ をかけます。

$- 182 x^{2} {(7 x + 13 y)}^{- 3}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 182 x^{2} \frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 182$ と $\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$ をまとめます。

$x^{2} \frac{- 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

ステップ 4.2.2

$x^{2}$ と $\frac{- 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \cdot - 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

ステップ 4.2.3

$- 182$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{- 182 \cdot x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

ステップ 4.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{182 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

微分積分 例

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