微分積分例

$\frac{x}{x - y}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{x}{x - y}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x - y}]$ です。

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x - y}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x - y}$ を ${(x - y)}^{- 1}$ に書き換えます。

$x \frac{d}{d y} [{(x - y)}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (y) = y^{- 1}$ および $g (y) = x - y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - y$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x - y])$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x - y])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x - y$ で置き換えます。

$x (- {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [x - y])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x - y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ です。

$x (- {(x - y)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]))$

ステップ 3.2

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$x (- {(x - y)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [- y]))$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d y} [- y]$ をたし算します。

$x (- {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [- y])$

ステップ 3.4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x (- {(x - y)}^{- 2} (- \frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 3.5

掛け算します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (1 {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 3.5.2

${(x - y)}^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$x ({(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x ({(x - y)}^{- 2} \cdot 1)$

ステップ 3.7

${(x - y)}^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$x {(x - y)}^{- 2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x \frac{1}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ と $\frac{1}{{(x - y)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x}{{(x - y)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例