微分積分例

$x e^{\frac{x}{y}}$

ステップ 1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x e^{\frac{x}{y}}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [e^{\frac{x}{y}}]$ です。

$x \frac{d}{d y} [e^{\frac{x}{y}}]$

ステップ 2

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = \frac{x}{y}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{y}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{y}$ で置き換えます。

$x (e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

ステップ 3

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{x}{y}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ です。

$x (e^{\frac{x}{y}} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{1} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 1} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

ステップ 7.2

$\frac{1}{y}$ を $y^{- 1}$ に書き換えます。

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [y^{- 1}])$

ステップ 8

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (- y^{- 2}))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (- \frac{1}{y^{2}}))$

ステップ 9.2

項をまとめます。

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ステップ 9.2.1

$e^{\frac{x}{y}}$ と $\frac{1}{y^{2}}$ をまとめます。

$x^{2} (- \frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}})$

ステップ 9.2.2

$x^{2}$ と $\frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$

微分積分 例

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