微分積分例

$x^{5} + z \sin (x y z)$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x^{5} + z \sin (x y z)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$ です。

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$

ステップ 1.2

$x^{5}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{5}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$z$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $z \sin (x y z)$ の微分係数は $z \frac{d}{d y} [\sin (x y z)]$ です。

$0 + z \frac{d}{d y} [\sin (x y z)]$

ステップ 2.2

$f (y) = \sin (y)$ および $g (y) = x y z$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y z$ とします。

$0 + z (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x y z])$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$0 + z (\cos (u) \frac{d}{d y} [x y z])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x y z$ で置き換えます。

$0 + z (\cos (x y z) \frac{d}{d y} [x y z])$

ステップ 2.3

$x z$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y z$ の微分係数は $x z \frac{d}{d y} [y]$ です。

$0 + z (\cos (x y z) (x z \frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + z (\cos (x y z) (x z \cdot 1))$

ステップ 2.5

$x$ に $1$ をかけます。

$0 + z (\cos (x y z) (x z))$

ステップ 2.6

$z$ を $1$ 乗します。

$0 + z^{1} z (\cos (x y z) (x))$

ステップ 2.7

$z$ を $1$ 乗します。

$0 + z^{1} z^{1} (\cos (x y z) (x))$

ステップ 2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$0 + z^{1 + 1} (\cos (x y z) (x))$

ステップ 2.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$0 + z^{2} (\cos (x y z) (x))$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$0$ と $z^{2} (\cos (x y z) (x))$ をたし算します。

$z^{2} (\cos (x y z) (x))$

ステップ 3.2

$z^{2} (\cos (x y z) (x))$ の因数を並べ替えます。

$z^{2} x \cos (x y z)$

微分積分 例

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