微分積分例

$\frac{x - y}{x + y}$

ステップ 1

$f (y) = x - y$ および $g (y) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [x - y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x - y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ です。

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 2.2

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d y} [- y]$ をたし算します。

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [- y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 2.4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{(x + y) (- \frac{d}{d y} [y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + y) (- 1 \cdot 1) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + y) \cdot - 1 - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$- 1$ を $x + y$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 \cdot (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 2.6.3

$- 1 (x + y)$ を $- (x + y)$ に書き換えます。

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 2.7

総和則では、 $x + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{- (x + y) - (x - y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 2.8

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{- (x + y) - (x - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 2.9

$0$ と $\frac{d}{d y} [y]$ をたし算します。

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [y]}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 2.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{- (x + y) - (x - y) \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 2.11

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- (x + y) - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- x - y - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- x - y - x - - y}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- - y$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- x - y - x + 1 y}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{- x - y - x + y}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$- x - y - x + y$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.2.1

$- y$ と $y$ をたし算します。

$\frac{- x - x + 0}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

$- x - x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- x - x}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{- 2 x}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x}{{(x + y)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例