微分積分例

$(e^{x} + 1) (e^{- x} + 1)$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(e^{x} + 1) (e^{- x} + 1)$ を展開します。

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ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$\int e^{x} (e^{- x} + 1) + 1 (e^{- x} + 1) d x$

ステップ 1.1.2

分配則を当てはめます。

$\int e^{x} e^{- x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{- x} + 1) d x$

ステップ 1.1.3

分配則を当てはめます。

$\int e^{x} e^{- x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

ステップ 1.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

指数を足して $e^{x}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int e^{x - x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

ステップ 1.2.1.1.2

$x$ から $x$ を引きます。

$\int e^{0} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

ステップ 1.2.1.2

$e^{0}$ を簡約します。

$\int 1 + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

ステップ 1.2.1.3

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\int 1 + e^{x} + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

ステップ 1.2.1.4

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$\int 1 + e^{x} + e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

ステップ 1.2.1.5

$1$ に $1$ をかけます。

$\int 1 + e^{x} + e^{- x} + 1 d x$

ステップ 1.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int 2 + e^{x} + e^{- x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 d x + \int e^{x} d x + \int e^{- x} d x$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$2 x + C + \int e^{x} d x + \int e^{- x} d x$

ステップ 4

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$2 x + C + e^{x} + C + \int e^{- x} d x$

ステップ 5

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 5.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 x + C + e^{x} + C + \int - e^{u} d u$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 x + C + e^{x} + C - \int e^{u} d u$

ステップ 7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$2 x + C + e^{x} + C - (e^{u} + C)$

ステップ 8

簡約します。

$2 x + e^{x} - e^{u} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$2 x + e^{x} - e^{- x} + C$

微分積分 例

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