微分積分例

$(4 x^{3} - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) - \sqrt[5]{6 - 5 x}) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int 4 x^{3} - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 4 x^{3} d x + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

ステップ 3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int x^{3} d x + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

ステップ 6

$u_{1} = 2 x + 3$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u_{1} = 2 x + 3$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$2 x + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $2 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 6.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 6.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 6.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 6.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 6.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 6.1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 6.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ と $\csc (u_{1})$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{\csc (u_{1})}{2} \cot (u_{1}) d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

ステップ 7.3

$\frac{\csc (u_{1})}{2}$ と $\cot (u_{1})$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{\csc (u_{1}) \cot (u_{1})}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (\frac{1}{2} \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) d u_{1}) + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

ステップ 9

$- \csc (u_{1})$ の微分係数が $\csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ なので、 $\csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ の積分は $- \csc (u_{1})$ です。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

ステップ 10

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

ステップ 11

$u_{2} = 6 - 5 x$ とします。次に $d u_{2} = - 5 d x$ すると、 $- \frac{1}{5} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.1

$u_{2} = 6 - 5 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$6 - 5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 - 5 x]$

ステップ 11.1.2

微分します。

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ステップ 11.1.2.1

総和則では、 $6 - 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 11.1.2.2

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 11.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 11.1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 5 \cdot 1$

ステップ 11.1.3.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$0 - 5$

ステップ 11.1.4

$0$ から $5$ を引きます。

$- 5$

ステップ 11.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{u_{2}} \frac{1}{- 5} d u_{2}$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

分数の前に負数を移動させます。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{u_{2}} (- \frac{1}{5}) d u_{2}$

ステップ 12.2

$\sqrt[5]{u_{2}}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int - \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

ステップ 13

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - - \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

ステップ 14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + 1 \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

ステップ 14.2

$\int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

ステップ 15

$\frac{1}{5}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int \sqrt[5]{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 16

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{u_{2}}$ を ${u_{2}}^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int {u_{2}}^{\frac{1}{5}} d u_{2}$

ステップ 17

べき乗則では、 ${u_{2}}^{\frac{1}{5}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ です。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} (\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}} + C)$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

簡約します。

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{1}{5} (\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}}) + C$

ステップ 18.2

簡約します。

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ステップ 18.2.1

$\frac{5}{6}$ と ${u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ をまとめます。

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

ステップ 18.2.2

$\frac{1}{5}$ に $\frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6}$ をかけます。

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

ステップ 18.2.3

$5$ に $6$ をかけます。

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{30} + C$

ステップ 18.2.4

$5$ を $5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ で因数分解します。

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 ({u_{2}}^{\frac{6}{5}})}{30} + C$

ステップ 18.2.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.5.1

$5$ を $30$ で因数分解します。

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

ステップ 18.2.5.2

共通因数を約分します。

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

ステップ 18.2.5.3

式を書き換えます。

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{{u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

ステップ 19

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 19.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x + 3$ で置き換えます。

$x^{4} + \frac{\csc (2 x + 3)}{2} + \frac{{u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

ステップ 19.2

$u_{2}$ のすべての発生を $6 - 5 x$ で置き換えます。

$x^{4} + \frac{\csc (2 x + 3)}{2} + \frac{{(6 - 5 x)}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

ステップ 20

項を並べ替えます。

$x^{4} + \frac{1}{2} \csc (2 x + 3) + \frac{1}{6} {(6 - 5 x)}^{\frac{6}{5}} + C$

微分積分 例

微分積分例