微分積分例

$z \ln (x^{2} y \cos (z))$

ステップ 1

$f (z) = z$ および $g (z) = \ln (x^{2} y \cos (z))$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ は $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$z \frac{d}{d z} [\ln (x^{2} y \cos (z))] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 2

$f (z) = \ln (z)$ および $g (z) = x^{2} y \cos (z)$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ は $f' (g (z)) g' (z)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} y \cos (z)$ とします。

$z (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$z (\frac{1}{u} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} y \cos (z)$ で置き換えます。

$z (\frac{1}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 3

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{2} y \cos (z)}$ と $z$ をまとめます。

$\frac{z}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 3.2

$x^{2} y$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $x^{2} y \cos (z)$ の微分係数は $x^{2} y \frac{d}{d z} [\cos (z)]$ です。

$\frac{z}{x^{2} y \cos (z)} (x^{2} y \frac{d}{d z} [\cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 3.3

項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$x^{2}$ と $\frac{z}{x^{2} y \cos (z)}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)} (y \frac{d}{d z} [\cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 3.3.2

$y$ と $\frac{x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)}$ をまとめます。

$\frac{y (x^{2} z)}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 3.3.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 3.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} z}{x^{2} \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 3.3.4

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} z}{x^{2} \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 3.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{z}{\cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 4

$z$ に関する $\cos (z)$ の微分係数は $- \sin (z)$ です。

$\frac{z}{\cos (z)} (- \sin (z)) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 5

$\frac{z}{\cos (z)}$ と $\sin (z)$ をまとめます。

$- \frac{z \sin (z)}{\cos (z)} + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 6

$\frac{z \sin (z)}{\cos (z)}$ を $z \tan (z)$ に変換します。

$- (z \tan (z)) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- z \tan (z) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \cdot 1$

ステップ 8

$\ln (x^{2} y \cos (z))$ に $1$ をかけます。

$- z \tan (z) + \ln (x^{2} y \cos (z))$

微分積分 例

微分積分例