微分積分例

$p (z) = z {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$

ステップ 1

$f (z) = z$ および $g (z) = {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ は $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$z \frac{d}{d z} [{(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}] + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 2

$f (z) = z^{\frac{4}{3}}$ および $g (z) = 6 z + 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ は $f' (g (z)) g' (z)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 z + 1$ とします。

$z (\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 2.2

$n = \frac{4}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$z (\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $6 z + 1$ で置き換えます。

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 6.2

$4$ から $3$ を引きます。

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

$\frac{4}{3}$ と ${(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}}$ をまとめます。

$z (\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 7.2

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ と $z$ をまとめます。

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} \frac{d}{d z} [6 z + 1] + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 8

総和則では、 $6 z + 1$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [6 z] + \frac{d}{d z} [1]$ です。

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (\frac{d}{d z} [6 z] + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 9

$6$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $6 z$ の微分係数は $6 \frac{d}{d z} [z]$ です。

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 11

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 12

$1$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 + 0) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 13

項を簡約します。

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ステップ 13.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} \cdot 6 + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 13.2

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z \cdot 6}{3} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 13.3

$6$ に $4$ をかけます。

$\frac{24 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 13.4

$3$ を $24 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z$ で因数分解します。

$\frac{3 (8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z)}{3} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 14

共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z)}{3 (1)} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 14.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z)}{3 \cdot 1} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 14.3

式を書き換えます。

$\frac{8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{1} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 14.4

$8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z$ を $1$ で割ります。

$8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \cdot 1$

ステップ 16

式を簡約します。

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ステップ 16.1

${(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$ に $1$ をかけます。

$8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$

ステップ 16.2

項を並べ替えます。

$8 z {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$

微分積分 例

微分積分例