微分積分例

$x^{8} e^{x} - 7$

ステップ 1

$x^{8} e^{x} - 7$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{8} e^{x} - 7$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x^{8} e^{x} - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{8}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{8} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{8} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.2.3

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.3

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 0$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7})$ と $0$ をたし算します。

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7})$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{8} + 8 e^{x} x^{7}$

ステップ 2.4.3

$e^{x} x^{8} + 8 e^{x} x^{7}$ の因数を並べ替えます。

$x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} e^{x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{8} e^{x}) + \frac{d}{d x} (8 x^{7} e^{x})$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$f'' (x) = x^{8} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{8}) + \frac{d}{d x} (8 x^{7} e^{x})$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{8}) + \frac{d}{d x} (8 x^{7} e^{x})$

ステップ 3.2.3

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} (8 x^{7} e^{x})$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{7} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{7} e^{x}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{7} e^{x}]$ です。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 \frac{d}{d x} (x^{7} e^{x})$

ステップ 3.3.2

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 (x^{7} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

ステップ 3.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 (x^{7} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

ステップ 3.3.4

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 (x^{7} e^{x} + e^{x} (7 x^{6}))$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 (x^{7} e^{x}) + 8 (e^{x} (7 x^{6}))$

ステップ 3.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$7$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 x^{7} e^{x} + 56 (e^{x} (x^{6}))$

ステップ 3.4.2.2

$e^{x} (8 x^{7})$ と $8 x^{7} e^{x}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} + 56 e^{x} x^{6}$

ステップ 3.4.2.2.2

$8 x^{7} e^{x}$ と $8 x^{7} e^{x}$ をたし算します。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + 16 x^{7} e^{x} + 56 e^{x} x^{6}$

ステップ 3.4.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = e^{x} x^{8} + 16 e^{x} x^{7} + 56 e^{x} x^{6}$

ステップ 3.4.4

$e^{x} x^{8} + 16 e^{x} x^{7} + 56 e^{x} x^{6}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + 16 x^{7} e^{x} + 56 x^{6} e^{x}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

総和則では、 $x^{8} e^{x} - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$x^{8} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 5.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{8} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 5.1.2.3

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 5.1.3

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 0$

ステップ 5.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7})$ と $0$ をたし算します。

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7})$

ステップ 5.1.4.2

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{8} + 8 e^{x} x^{7}$

ステップ 5.1.4.3

$e^{x} x^{8} + 8 e^{x} x^{7}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ です。

$x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} = 0$

ステップ 6.2

$x^{7} e^{x}$ を $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$x^{7} e^{x}$ を $x^{8} e^{x}$ で因数分解します。

$x^{7} e^{x} (x) + 8 x^{7} e^{x} = 0$

ステップ 6.2.2

$x^{7} e^{x}$ を $8 x^{7} e^{x}$ で因数分解します。

$x^{7} e^{x} (x) + x^{7} e^{x} (8) = 0$

ステップ 6.2.3

$x^{7} e^{x}$ を $x^{7} e^{x} (x) + x^{7} e^{x} (8)$ で因数分解します。

$x^{7} e^{x} (x + 8) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{7} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 8 = 0$

ステップ 6.4

$x^{7}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$x^{7}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{7} = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ について $x^{7} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[7]{0}$

ステップ 6.4.2.2

$\sqrt[7]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1

$0$ を $0^{7}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

ステップ 6.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 6.5

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 6.5.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 6.5.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 6.6

$x + 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$x + 8$ が $0$ に等しいとします。

$x + 8 = 0$

ステップ 6.6.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x = - 8$

ステップ 6.7

最終解は $x^{7} e^{x} (x + 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 8$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 0, - 8$

ステップ 9

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

${(0)}^{8} e^{0} + 16 {(0)}^{7} e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 e^{0} + 16 {(0)}^{7} e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

ステップ 10.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 \cdot 1 + 16 {(0)}^{7} e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

ステップ 10.1.3

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + 16 {(0)}^{7} e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

ステップ 10.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 16 \cdot 0 e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

ステップ 10.1.5

$16$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

ステップ 10.1.6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 0 \cdot 1 + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

ステップ 10.1.7

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + 0 + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

ステップ 10.1.8

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 + 56 \cdot 0 e^{0}$

ステップ 10.1.9

$56$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0 e^{0}$

ステップ 10.1.10

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

ステップ 10.1.11

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + 0 + 0$

ステップ 10.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0$

ステップ 10.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 11

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 11.2

一次導関数 $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ の区間 $(- \infty, - 8)$ から $- 10$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

式の変数 $x$ を $- 10$ で置換えます。

$f' (- 10) = {(- 10)}^{8} e^{- 10} + 8 {(- 10)}^{7} e^{- 10}$

ステップ 11.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1.1

$- 10$ を $8$ 乗します。

$f' (- 10) = 100000000 e^{- 10} + 8 {(- 10)}^{7} e^{- 10}$

ステップ 11.2.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (- 10) = 100000000 (\frac{1}{e^{10}}) + 8 {(- 10)}^{7} e^{- 10}$

ステップ 11.2.2.1.3

$100000000$ と $\frac{1}{e^{10}}$ をまとめます。

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} + 8 {(- 10)}^{7} e^{- 10}$

ステップ 11.2.2.1.4

$- 10$ を $7$ 乗します。

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} + 8 \cdot (- 10000000 e^{- 10})$

ステップ 11.2.2.1.5

$8$ に $- 10000000$ をかけます。

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} - 80000000 e^{- 10}$

ステップ 11.2.2.1.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} - 80000000 \frac{1}{e^{10}}$

ステップ 11.2.2.1.7

$- 80000000$ と $\frac{1}{e^{10}}$ をまとめます。

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} + \frac{- 80000000}{e^{10}}$

ステップ 11.2.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} - \frac{80000000}{e^{10}}$

ステップ 11.2.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f' (- 10) = \frac{100000000 - 80000000}{e^{10}}$

ステップ 11.2.2.2.2

$100000000$ から $80000000$ を引きます。

$f' (- 10) = \frac{20000000}{e^{10}}$

ステップ 11.2.2.3

最終的な答えは $\frac{20000000}{e^{10}}$ です。

$\frac{20000000}{e^{10}}$

ステップ 11.3

一次導関数 $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ の区間 $(- 8, 0)$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = {(- 4)}^{8} e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{7} e^{- 4}$

ステップ 11.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1.1

$- 4$ を $8$ 乗します。

$f' (- 4) = 65536 e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{7} e^{- 4}$

ステップ 11.3.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (- 4) = 65536 (\frac{1}{e^{4}}) + 8 {(- 4)}^{7} e^{- 4}$

ステップ 11.3.2.1.3

$65536$ と $\frac{1}{e^{4}}$ をまとめます。

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} + 8 {(- 4)}^{7} e^{- 4}$

ステップ 11.3.2.1.4

$- 4$ を $7$ 乗します。

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} + 8 \cdot (- 16384 e^{- 4})$

ステップ 11.3.2.1.5

$8$ に $- 16384$ をかけます。

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} - 131072 e^{- 4}$

ステップ 11.3.2.1.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} - 131072 \frac{1}{e^{4}}$

ステップ 11.3.2.1.7

$- 131072$ と $\frac{1}{e^{4}}$ をまとめます。

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} + \frac{- 131072}{e^{4}}$

ステップ 11.3.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} - \frac{131072}{e^{4}}$

ステップ 11.3.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f' (- 4) = \frac{65536 - 131072}{e^{4}}$

ステップ 11.3.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.2.2.1

$65536$ から $131072$ を引きます。

$f' (- 4) = \frac{- 65536}{e^{4}}$

ステップ 11.3.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 4) = - \frac{65536}{e^{4}}$

ステップ 11.3.2.3

最終的な答えは $- \frac{65536}{e^{4}}$ です。

$- \frac{65536}{e^{4}}$

ステップ 11.4

一次導関数 $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ の区間 $(0, \infty)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = {(2)}^{8} e^{2} + 8 {(2)}^{7} e^{2}$

ステップ 11.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.2.1.1

$2$ を $8$ 乗します。

$f' (2) = 256 e^{2} + 8 {(2)}^{7} e^{2}$

ステップ 11.4.2.1.2

$2$ を $7$ 乗します。

$f' (2) = 256 e^{2} + 8 \cdot (128 e^{2})$

ステップ 11.4.2.1.3

$8$ に $128$ をかけます。

$f' (2) = 256 e^{2} + 1024 e^{2}$

ステップ 11.4.2.2

$256 e^{2}$ と $1024 e^{2}$ をたし算します。

$f' (2) = 1280 e^{2}$

ステップ 11.4.2.3

最終的な答えは $1280 e^{2}$ です。

$1280 e^{2}$

ステップ 11.5

$x = - 8$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = - 8$ は極大値です。

$x = - 8$ は極大値です

ステップ 11.6

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 0$ は極小値です。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11.7

$f (x) = x^{8} e^{x} - 7$ の極値です。

$x = - 8$ は極大値です

$x = 0$ は極小値です

$x = - 8$ は極大値です

$x = 0$ は極小値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例