微分積分例

$\ln (\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{\sqrt{y^{2} + 1}})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y^{2} + 1}$ を ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d y} [\ln (\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})]$

ステップ 2

$f (y) = \ln (y)$ および $g (y) = \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3

分数の逆数を掛け、 $\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ で割ります。

$1 \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 5

$f (y) = {(2 y + 1)}^{3}$ および $g (y) = {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{3}] - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6

${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

ステップ 6.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 6.2.2

式を書き換えます。

ステップ 7

簡約します。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{3}] - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

ステップ 8

$f (y) = y^{3}$ および $g (y) = 2 y + 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 y + 1$ とします。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

ステップ 8.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

ステップ 8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 y + 1$ で置き換えます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 {(2 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

ステップ 9

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$3$ を ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 \cdot {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [2 y + 1] - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

ステップ 9.2

総和則では、 $2 y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

ステップ 9.3

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

ステップ 9.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

ステップ 9.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

ステップ 9.6

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (2 + 0) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

ステップ 9.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} \cdot 2 - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

ステップ 9.7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

ステップ 10

$f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ および $g (y) = y^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $y^{2} + 1$ とします。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

ステップ 10.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

ステップ 10.3

$u_{3}$ のすべての発生を $y^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

ステップ 11

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

ステップ 12

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

ステップ 13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

ステップ 14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

ステップ 14.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

ステップ 15

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

ステップ 15.2

$\frac{1}{2}$ と ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

ステップ 15.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

ステップ 15.4

$\frac{1}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と ${(2 y + 1)}^{3}$ をまとめます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1]}{y^{2} + 1}$

ステップ 16

総和則では、 $y^{2} + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1])}{y^{2} + 1}$

ステップ 17

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y + \frac{d}{d y} [1])}{y^{2} + 1}$

ステップ 18

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y + 0)}{y^{2} + 1}$

ステップ 19

項を簡約します。

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ステップ 19.1

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y)}{y^{2} + 1}$

ステップ 19.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - 2 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y}{y^{2} + 1}$

ステップ 19.3

$- 2$ と $\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{- 2 {(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y}{y^{2} + 1}$

ステップ 19.4

$\frac{- 2 {(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{- 2 {(2 y + 1)}^{3} y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

ステップ 19.5

$2$ を $- 2 {(2 y + 1)}^{3} y$ で因数分解します。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{3} y)}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

ステップ 20

共通因数を約分します。

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ステップ 20.1

$2$ を $2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{3} y)}{2 ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{y^{2} + 1}$

ステップ 20.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{3} y)}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

ステップ 20.3

式を書き換えます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{- {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

ステップ 21

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

ステップ 22

$6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

ステップ 23

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

ステップ 24

指数を足して ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

ステップ 24.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

ステップ 24.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

ステップ 24.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

ステップ 24.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{1} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

ステップ 25

$6 {(y^{2} + 1)}^{1} {(2 y + 1)}^{2}$ を簡約します。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

ステップ 26

$\frac{\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$ を積として書き換えます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} (\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{y^{2} + 1})$

ステップ 27

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{y^{2} + 1}$ をかけます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)}$

ステップ 28

指数を足して ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $y^{2} + 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.1

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $y^{2} + 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 28.1.1

$y^{2} + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}}$

ステップ 28.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 28.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 28.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 28.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 29

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}}$ に $\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y)}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 30

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 31

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1

指数を足して ${(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ に ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.1

${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} ({(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 31.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

ステップ 31.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

ステップ 31.1.4

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 31.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{1}}$

ステップ 31.2

${(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

ステップ 32

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(6 y^{2} + 6 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

ステップ 32.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.2.1

${(2 y + 1)}^{2}$ を $(6 y^{2} + 6 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.2.1.1

${(2 y + 1)}^{2}$ を $(6 y^{2} + 6 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 \cdot 1) - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

ステップ 32.2.1.2

${(2 y + 1)}^{2}$ を $- {(2 y + 1)}^{3} y$ で因数分解します。

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 \cdot 1) + {(2 y + 1)}^{2} (- (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

ステップ 32.2.1.3

${(2 y + 1)}^{2}$ を ${(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 \cdot 1) + {(2 y + 1)}^{2} (- (2 y + 1) y)$ で因数分解します。

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 \cdot 1 - (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

ステップ 32.2.2

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

ステップ 32.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 + (- (2 y) - 1 \cdot 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

ステップ 32.2.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 + (- 2 y - 1 \cdot 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

ステップ 32.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 + (- 2 y - 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

ステップ 32.2.6

分配則を当てはめます。

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - 2 y \cdot y - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

ステップ 32.2.7

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.2.7.1

$y$ を移動させます。

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - 2 (y \cdot y) - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

ステップ 32.2.7.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - 2 y^{2} - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

ステップ 32.2.8

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - 2 y^{2} - y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

ステップ 32.2.9

$6 y^{2}$ から $2 y^{2}$ を引きます。

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (4 y^{2} + 6 - y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

ステップ 32.2.10

項を並べ替えます。

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (4 y^{2} - y + 6)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

ステップ 32.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.3.1

${(2 y + 1)}^{2}$ を ${(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)$ で因数分解します。

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (4 y^{2} - y + 6)}{{(2 y + 1)}^{2} ((2 y + 1) (y^{2} + 1))}$

ステップ 32.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (4 y^{2} - y + 6)}{{(2 y + 1)}^{2} ((2 y + 1) (y^{2} + 1))}$

ステップ 32.3.3

式を書き換えます。

$\frac{4 y^{2} - y + 6}{(2 y + 1) (y^{2} + 1)}$

微分積分 例

微分積分例