微分積分例

$\arctan (\frac{x + y}{1 - x y})$

ステップ 1

$f (y) = \arctan (y)$ および $g (y) = \frac{x + y}{1 - x y}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x + y}{1 - x y}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x + y}{1 - x y}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

ステップ 2

$f (y) = x + y$ および $g (y) = 1 - x y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 3.2

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d y} [y]$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \cdot 1 - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 3.5

$1 - x y$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 3.6

総和則では、 $1 - x y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 3.7

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 3.8

$0$ と $\frac{d}{d y} [- x y]$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [- x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 3.9

$- x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- x y$ の微分係数は $- x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (- x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 3.10

掛け算します。

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ステップ 3.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + 1 (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 3.10.2

$x + y$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) x \cdot 1}{{(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 3.12

分数をまとめます。

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ステップ 3.12.1

$x + y$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + x \cdot (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 3.12.2

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}}$ に $\frac{1 - x y + x (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $\frac{x + y}{1 - x y}$ に当てはめます。

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 - x y + x \cdot x + x y}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$1 - x y + x \cdot x + x y$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.1.1

$- x y$ と $x y$ をたし算します。

$\frac{1 + x \cdot x + 0}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2

$1 + x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 + x \cdot x}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1 + x^{2}}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 4.4

項をまとめます。

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ステップ 4.4.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1 + x^{2}}{(\frac{{(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} {(1 - x y)}^{2}}$

ステップ 4.4.3

$\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}$ と ${(1 - x y)}^{2}$ をまとめます。

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

ステップ 4.4.4

${(1 - x y)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

ステップ 4.4.4.2

${(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

ステップ 4.5

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} + 1}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

ステップ 4.6

分母を簡約します。

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ステップ 4.6.1

${(1 - x y)}^{2}$ を $(1 - x y) (1 - x y)$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} + 1}{(1 - x y) (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

ステップ 4.6.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - x y) (1 - x y)$ を展開します。

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ステップ 4.6.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 (1 - x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

ステップ 4.6.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

ステップ 4.6.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

ステップ 4.6.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

ステップ 4.6.3.1.2

$- x y$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

ステップ 4.6.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

ステップ 4.6.3.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.3.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - (x \cdot x) y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

ステップ 4.6.3.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

ステップ 4.6.3.1.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.3.1.5.1

$y$ を移動させます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} (y \cdot y) \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

ステップ 4.6.3.1.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y^{2} \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

ステップ 4.6.3.1.6

$- x^{2} y^{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.3.1.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + 1 x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

ステップ 4.6.3.1.6.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

ステップ 4.6.3.2

$- x y$ から $x y$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

ステップ 4.6.4

${(x + y)}^{2}$ を $(x + y) (x + y)$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + (x + y) (x + y)}$

ステップ 4.6.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x + y) (x + y)$ を展開します。

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ステップ 4.6.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x (x + y) + y (x + y)}$

ステップ 4.6.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y (x + y)}$

ステップ 4.6.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y}$

ステップ 4.6.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.6.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.6.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y \cdot y}$

ステップ 4.6.6.1.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y^{2}}$

ステップ 4.6.6.2

$x y$ と $y x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.6.2.1

$y$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + x y + y^{2}}$

ステップ 4.6.6.2.2

$x y$ と $x y$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

ステップ 4.6.7

$- 2 x y$ と $2 x y$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 1}{1 + x^{2} y^{2} + x^{2} + 0 + y^{2}}$

ステップ 4.6.8

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}}$

ステップ 4.6.9

因数分解した形で $x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}$ を書き換えます。

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ステップ 4.6.9.1

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.9.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{x^{2} + 1}{(x^{2} y^{2} + x^{2}) + 1 + y^{2}}$

ステップ 4.6.9.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)}$

ステップ 4.6.9.2

最大公約数 $y^{2} + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 4.7

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

ステップ 4.7.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1}$

微分積分 例

微分積分例