微分積分例

$y = \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \csc (x)$ および $g (x) = 1 + \csc (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - \csc (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

総和則では、 $1 + \csc (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ です。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ をたし算します。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.5

掛け算します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$\csc (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.6

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.7

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10

簡約します。

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ステップ 3.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.10.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.10.2.1.1

$- \csc (x) \cot (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.1.3

$- \csc (x) \csc (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.10.2.1.3.1

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.1.3.2

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.2

$- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.10.2.2.1

$- \csc^{2} (x) \cot (x)$ と $\csc^{2} (x) \cot (x)$ をたし算します。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + 0}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.2.2

$- \csc (x) \cot (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- \csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{\csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

微分積分 例

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