微分積分例

$\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot (6 x^{- \frac{3}{2}})$

ステップ 1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot (6 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$6$ と $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot \frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}]$

ステップ 2.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.2.1

$\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})$ と $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{d}{d y} [\frac{\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot 6}{x^{\frac{3}{2}}}]$

ステップ 2.2.2

$6$ を $\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d y} [\frac{6 \cdot \ln (5 x^{2} + 10 y^{3})}{x^{\frac{3}{2}}}]$

ステップ 2.3

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{6 \ln (5 x^{2} + 10 y^{3})}{x^{\frac{3}{2}}}$ の微分係数は $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})]$ です。

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})]$

ステップ 3

$f (y) = \ln (y)$ および $g (y) = 5 x^{2} + 10 y^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x^{2} + 10 y^{3}$ とします。

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $5 x^{2} + 10 y^{3}$ で置き換えます。

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{1}{5 x^{2} + 10 y^{3}} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{5 x^{2} + 10 y^{3}}$ に $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}]$

ステップ 4.2

総和則では、 $5 x^{2} + 10 y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [10 y^{3}]$ です。

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d y} [5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [10 y^{3}])$

ステップ 4.3

$5 x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $5 x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [10 y^{3}])$

ステップ 4.4

$0$ と $\frac{d}{d y} [10 y^{3}]$ をたし算します。

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [10 y^{3}]$

ステップ 4.5

$10$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $10 y^{3}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ です。

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (10 \frac{d}{d y} [y^{3}])$

ステップ 4.6

項を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$10$ と $\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{10 \cdot 6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

ステップ 4.6.2

$10$ に $6$ をかけます。

$\frac{60}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

ステップ 4.6.3

$5$ を $60$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot 12}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

ステップ 5

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$5$ を $(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot 12}{5 ((x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot 12}{5 ((x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

ステップ 5.3

式を書き換えます。

$\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

ステップ 6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (3 y^{2})$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

$3$ と $\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} y^{2}$

ステップ 7.2

$3$ に $12$ をかけます。

$\frac{36}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} y^{2}$

ステップ 7.3

$\frac{36}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{36 y^{2}}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{36 y^{2}}{x^{2} x^{\frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 8.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{36 y^{2}}{x^{2 + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{36 y^{2}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.2.3

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{4 + 3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.2.5.2

$4$ と $3$ をたし算します。

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{7}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$\frac{36 y^{2}}{2 x^{\frac{3}{2}} y^{3} + x^{\frac{7}{2}}}$

ステップ 8.4

分母を簡約します。

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ステップ 8.4.1

$x^{\frac{3}{2}}$ を $2 x^{\frac{3}{2}} y^{3} + x^{\frac{7}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 8.4.1.1

$x^{\frac{3}{2}}$ を $2 x^{\frac{3}{2}} y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{7}{2}}}$

ステップ 8.4.1.2

$x^{\frac{3}{2}}$ を $x^{\frac{7}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{4}{2}}}$

ステップ 8.4.1.3

$x^{\frac{3}{2}}$ を $x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{4}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3} + x^{\frac{4}{2}})}$

ステップ 8.4.2

$4$ を $2$ で割ります。

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3} + x^{2})}$

微分積分 例

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