微分積分例

$\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ です。

$\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{z - 1}$ を ${(z - 1)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d z} [{(z - 1)}^{- 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

ステップ 2.2

$f (z) = z^{- 1}$ および $g (z) = z - 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ は $f' (g (z)) g' (z)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $z - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

ステップ 2.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $z - 1$ で置き換えます。

$- {(z - 1)}^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $z - 1$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]$ です。

$- {(z - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

ステップ 2.5

$- 1$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

ステップ 2.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$- {(z - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

ステップ 2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- {(z - 1)}^{- 2} + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (z) = - 1$ および $g (z) = \frac{1}{z}$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ は $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{z}$ を $z^{- 1}$ に書き換えます。

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [z^{- 1}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

ステップ 3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

ステップ 3.4

$- 1$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

ステップ 3.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- {(z - 1)}^{- 2} + 1 z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

ステップ 3.6

$z^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

ステップ 3.7

$\frac{1}{z}$ に $0$ をかけます。

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + 0$

ステップ 3.8

$z^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2}$

ステップ 4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + z^{- 2}$

ステップ 5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$

ステップ 6

項を並べ替えます。

$\frac{1}{z^{2}} - \frac{1}{{(z - 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例