微分積分例

$\ln^{7} (z) + \ln (z^{7})$

ステップ 1

総和則では、 $\ln^{7} (z) + \ln (z^{7})$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$ です。

$\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

ステップ 2

$\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (z) = z^{7}$ および $g (z) = \ln (z)$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ は $f' (g (z)) g' (z)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (z)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{7}] \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

ステップ 2.1.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 {u_{1}}^{6} \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (z)$ で置き換えます。

$7 \ln^{6} (z) \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

ステップ 2.2

$z$ に関する $\ln (z)$ の微分係数は $\frac{1}{z}$ です。

$7 \ln^{6} (z) \frac{1}{z} + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

ステップ 2.3

$\frac{1}{z}$ と $7$ をまとめます。

$\frac{7}{z} \ln^{6} (z) + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

ステップ 2.4

$\frac{7}{z}$ と $\ln^{6} (z)$ をまとめます。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

ステップ 3

$\frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (z) = \ln (z)$ および $g (z) = z^{7}$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ は $f' (g (z)) g' (z)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $z^{7}$ とします。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d z} [z^{7}]$

ステップ 3.1.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d z} [z^{7}]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $z^{7}$ で置き換えます。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{z^{7}} \frac{d}{d z} [z^{7}]$

ステップ 3.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{z^{7}} (7 z^{6})$

ステップ 3.3

$7$ と $\frac{1}{z^{7}}$ をまとめます。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7}{z^{7}} z^{6}$

ステップ 3.4

$\frac{7}{z^{7}}$ と $z^{6}$ をまとめます。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7 z^{6}}{z^{7}}$

ステップ 3.5

$z^{6}$ と $z^{7}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$z^{6}$ を $7 z^{6}$ で因数分解します。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{7}}$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1

$z^{6}$ を $z^{7}$ で因数分解します。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{6} z}$

ステップ 3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{6} z}$

ステップ 3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7}{z}$

微分積分 例

微分積分例