微分積分例

$f (z) = \frac{z^{2} + 1}{3 z}$

ステップ 1

$\frac{1}{3}$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $\frac{z^{2} + 1}{3 z}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z}]$

ステップ 2

$f (z) = z^{2} + 1$ および $g (z) = z$ のとき、 $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ は $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1] - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $z^{2} + 1$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

ステップ 3.3

$1$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z + 0) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

ステップ 3.4

$2 z$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

ステップ 4

$z$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (z^{1} z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

ステップ 5

$z$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (z^{1} z^{1}) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{1 + 1} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

ステップ 7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

ステップ 8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1) \cdot 1}{z^{2}}$

ステップ 9

分数をまとめます。

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ステップ 9.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{z^{2}}$

ステップ 9.2

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{z^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{3 z^{2}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 z^{2} - z^{2} - 1 \cdot 1}{3 z^{2}}$

ステップ 10.2

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 z^{2} - z^{2} - 1}{3 z^{2}}$

ステップ 10.2.2

$2 z^{2}$ から $z^{2}$ を引きます。

$\frac{z^{2} - 1}{3 z^{2}}$

ステップ 10.3

分子を簡約します。

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ステップ 10.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{z^{2} - 1^{2}}{3 z^{2}}$

ステップ 10.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = z$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(z + 1) (z - 1)}{3 z^{2}}$

微分積分 例

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