微分積分例

$\ln (\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}})$

ステップ 1

$f (z) = \ln (z)$ および $g (z) = \frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ は $f' (g (z)) g' (z)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ で割ります。

$1 \frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

ステップ 3

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

ステップ 4

$x^{40} y^{30}$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ の微分係数は $x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$ です。

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} (x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$x^{40}$ と $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ をまとめます。

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} (y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

ステップ 5.2

$y^{30}$ と $\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ をまとめます。

$\frac{y^{30} (x^{40} z^{20})}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

ステップ 5.3

$y^{30}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{30} x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

ステップ 5.4

$x^{40}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

ステップ 5.4.2

$z^{20}$ を $1$ で割ります。

$z^{20} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

ステップ 5.5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.5.1

$\frac{1}{z^{20}}$ を ${(z^{20})}^{- 1}$ に書き換えます。

$z^{20} \frac{d}{d z} [{(z^{20})}^{- 1}]$

ステップ 5.5.2

${(z^{20})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{20 \cdot - 1}]$

ステップ 5.5.2.2

$20$ に $- 1$ をかけます。

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{- 20}]$

ステップ 6

$n = - 20$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$z^{20} (- 20 z^{- 21})$

ステップ 7

指数を足して $z^{20}$ に $z^{- 21}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$z^{- 21}$ を移動させます。

$z^{- 21} z^{20} \cdot - 20$

ステップ 7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$z^{- 21 + 20} \cdot - 20$

ステップ 7.3

$- 21$ と $20$ をたし算します。

$z^{- 1} \cdot - 20$

ステップ 8

$- 20$ を $z^{- 1}$ の左に移動させます。

$- 20 \cdot z^{- 1}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 20 \frac{1}{z}$

ステップ 9.2

項をまとめます。

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ステップ 9.2.1

$- 20$ と $\frac{1}{z}$ をまとめます。

$\frac{- 20}{z}$

ステップ 9.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{20}{z}$

微分積分 例

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