微分積分例

$y = 3 x^{5} - 2 x^{- 3} + \sqrt[4]{x^{7}}$

ステップ 1

総和則では、 $3 x^{5} - 2 x^{- 3} + \sqrt[4]{x^{7}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

ステップ 2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

ステップ 2.3

$5$ に $3$ をかけます。

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{- 3}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ です。

$15 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

ステップ 3.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

ステップ 3.3

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x^{7}}$ を $x^{\frac{7}{4}}$ に書き換えます。

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$

ステップ 4.2

$n = \frac{7}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}$

ステップ 4.6.2

$7$ から $4$ を引きます。

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$15 x^{4} + 6 \frac{1}{x^{4}} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$

ステップ 5.2

$6$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$15 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$15 x^{4} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}} + \frac{6}{x^{4}}$

ステップ 5.4

$\frac{7}{4}$ と $x^{\frac{3}{4}}$ をまとめます。

$15 x^{4} + \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{6}{x^{4}}$

微分積分 例

微分積分例