微分積分例

$y = 3 x e^{2 x^{5}}$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x e^{2 x^{5}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x e^{2 x^{5}}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x e^{2 x^{5}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{2 x^{5}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{2 x^{5}}] + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x^{5}$ とします。

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $2 x^{5}$ で置き換えます。

$3 (x (e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{5}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$3 (x (e^{2 x^{5}} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}])) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x (e^{2 x^{5}} (2 (5 x^{4}))) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$5$ に $2$ をかけます。

$3 (x (e^{2 x^{5}} (10 x^{4})) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$3 (x^{4} x^{1} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (x^{4 + 1} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

$4$ と $1$ をたし算します。

$3 (x^{5} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.2

$10$ を $e^{2 x^{5}}$ の左に移動させます。

$3 (x^{5} (10 \cdot e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}} \cdot 1)$

ステップ 9

$e^{2 x^{5}}$ に $1$ をかけます。

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}})$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}})) + 3 e^{2 x^{5}}$

ステップ 10.2

$10$ に $3$ をかけます。

$30 x^{5} e^{2 x^{5}} + 3 e^{2 x^{5}}$

ステップ 10.3

項を並べ替えます。

$30 e^{2 x^{5}} x^{5} + 3 e^{2 x^{5}}$

ステップ 10.4

$30 e^{2 x^{5}} x^{5} + 3 e^{2 x^{5}}$ の因数を並べ替えます。

$30 x^{5} e^{2 x^{5}} + 3 e^{2 x^{5}}$

微分積分 例

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