微分積分例

$y = 4 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}}$

ステップ 1

総和則では、 $4 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [4 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 e^{x}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$4 e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$4 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 3.3

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ を ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$4 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{3}}$ とします。

$4 e^{x} + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

ステップ 3.4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 e^{x} + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

ステップ 3.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{3}}$ で置き換えます。

$4 e^{x} + 4 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

ステップ 3.5

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 e^{x} + 4 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

ステップ 3.6

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 e^{x} + 4 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

ステップ 3.6.2

$\frac{1}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$4 e^{x} + 4 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

ステップ 3.6.3

分数の前に負数を移動させます。

$4 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

ステップ 3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$4 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

ステップ 3.8

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$4 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 3.9

公分母の分子をまとめます。

$4 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 3.10

分子を簡約します。

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ステップ 3.10.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$4 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

ステップ 3.10.2

$1$ から $3$ を引きます。

$4 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

ステップ 3.11

分数の前に負数を移動させます。

$4 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

ステップ 3.12

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$4 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 3.13

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$4 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 3.14

指数を足して $x^{- \frac{2}{3}}$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 3.14.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 3.14.2

公分母の分子をまとめます。

$4 e^{x} + 4 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

ステップ 3.14.3

$- 2$ から $2$ を引きます。

$4 e^{x} + 4 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

ステップ 3.14.4

分数の前に負数を移動させます。

$4 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

ステップ 3.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{4}{3}}$ を分母に移動させます。

$4 e^{x} + 4 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

ステップ 3.16

$- 1$ に $4$ をかけます。

$4 e^{x} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3.17

$- 4$ と $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ をまとめます。

$4 e^{x} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3.18

分数の前に負数を移動させます。

$4 e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

微分積分 例

微分積分例