微分積分例

$y = 4 x^{3} \cos (x) \sin (x)$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3} \cos (x) \sin (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x) \sin (x)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x) \sin (x)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3} \cos (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (x^{3} \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$4 (x^{3} \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

ステップ 4

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$4 (x^{3} (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

ステップ 5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$4 (x^{3} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (x^{3} {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

ステップ 7

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 (x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

ステップ 8

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]))$

ステップ 9

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$4 (x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]))$

ステップ 10

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2})))$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$4 (x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} (- \sin (x))) + \sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$4 (x^{3} \cos^{2} (x)) + 4 (\sin (x) (x^{3} (- \sin (x)))) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

ステップ 11.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$4 x^{3} \cos^{2} (x) + 4 (x^{3} (- (\sin^{1} (x) \sin (x)))) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

ステップ 11.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$4 x^{3} \cos^{2} (x) + 4 (x^{3} (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

ステップ 11.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{3} \cos^{2} (x) + 4 (x^{3} (- {\sin (x)}^{1 + 1})) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

ステップ 11.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 x^{3} \cos^{2} (x) + 4 (x^{3} (- \sin^{2} (x))) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

ステップ 11.3.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$4 x^{3} \cos^{2} (x) - 4 (x^{3} (\sin^{2} (x))) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

ステップ 11.3.6

$3$ に $4$ をかけます。

$4 x^{3} \cos^{2} (x) - 4 x^{3} \sin^{2} (x) + 12 \sin (x) \cos (x) x^{2}$

ステップ 11.4

項を並べ替えます。

$4 x^{3} \cos^{2} (x) - 4 x^{3} \sin^{2} (x) + 12 x^{2} \cos (x) \sin (x)$

微分積分 例

微分積分例