微分積分例

$y = 4 x^{3} \ln (2 x^{5})$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3} \ln (2 x^{5})$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (2 x^{5})]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (2 x^{5})]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \ln (2 x^{5})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{5})] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 2 x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x^{5}$ とします。

$4 (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$4 (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $2 x^{5}$ で置き換えます。

$4 (x^{3} (\frac{1}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{2 x^{5}}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{3}}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.2

$x^{3}$ と $x^{5}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$1$ を掛けます。

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$x^{3}$ を $2 x^{5}$ で因数分解します。

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} (2 x^{2})} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.2.2.2

共通因数を約分します。

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} (2 x^{2})} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.2.2.3

式を書き換えます。

$4 (\frac{1}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{5}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$4 (\frac{1}{2 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.4

項を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$2$ と $\frac{1}{2 x^{2}}$ をまとめます。

$4 (\frac{2}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1

共通因数を約分します。

$4 (\frac{2}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.4.2.2

式を書き換えます。

$4 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.5

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.6

項を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$5$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$4 (\frac{5}{x^{2}} x^{4} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.6.2

$\frac{5}{x^{2}}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$4 (\frac{5 x^{4}}{x^{2}} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.6.3

$x^{4}$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.3.1

$x^{2}$ を $5 x^{4}$ で因数分解します。

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2}} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.6.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.3.2.1

$1$ を掛けます。

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.6.3.2.2

共通因数を約分します。

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.6.3.2.3

式を書き換えます。

$4 (\frac{5 x^{2}}{1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.6.3.2.4

$5 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$4 (5 x^{2} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.7

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (5 x^{2} + \ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$4 (5 x^{2}) + 4 (\ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$5$ に $4$ をかけます。

$20 x^{2} + 4 (\ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

ステップ 5.2.2

$3$ に $4$ をかけます。

$20 x^{2} + 12 \ln (2 x^{5}) x^{2}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$20 x^{2} + 12 x^{2} \ln (2 x^{5})$

微分積分 例

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