微分積分例

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{4}$ とします。

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{4}$ で置き換えます。

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4

分数の逆数を掛け、 $\frac{x}{4}$ で割ります。

$5 (x^{2} (1 \frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{4}{x}$ に $1$ をかけます。

$5 (x^{2} (\frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.2

$\frac{4}{x}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$5 (\frac{4 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.3

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$x$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$5 (\frac{x (4 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$5 (\frac{x (4 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.3.2.3

共通因数を約分します。

$5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.3.2.4

式を書き換えます。

$5 (\frac{4 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.3.2.5

$4 x$ を $1$ で割ります。

$5 (4 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 6

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 (4 x (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$5 (x (\frac{4}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 7.2

$\frac{4}{4}$ と $x$ をまとめます。

$5 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 7.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1

共通因数を約分します。

$5 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 7.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 9

$x$ に $1$ をかけます。

$5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

ステップ 11.2

$2$ に $5$ をかけます。

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

ステップ 11.3

項を並べ替えます。

$10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$

微分積分 例

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