微分積分例

$y = 5 x^{\frac{8}{5}} - 3 x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}} + 5$

ステップ 1

総和則では、 $5 x^{\frac{8}{5}} - 3 x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{8}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{8}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{8}{5}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{\frac{8}{5}}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{5}}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.2

$n = \frac{8}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.6.2

$8$ から $5$ を引きます。

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{3}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.7

$\frac{8}{5}$ と $x^{\frac{3}{5}}$ をまとめます。

$5 \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.8

$5$ と $\frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5}$ をまとめます。

$\frac{5 (8 x^{\frac{3}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.9

$8$ に $5$ をかけます。

$\frac{40 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.10

$5$ を $40 x^{\frac{3}{5}}$ で因数分解します。

$\frac{5 (8 x^{\frac{3}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.11

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 (8 x^{\frac{3}{5}})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.11.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (8 x^{\frac{3}{5}})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.11.3

式を書き換えます。

$\frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.11.4

$8 x^{\frac{3}{5}}$ を $1$ で割ります。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{\frac{5}{6}}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}]$ です。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.2

$n = \frac{5}{6}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.4

$- 1$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.6.2

$5$ から $6$ を引きます。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{- 1}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{- \frac{1}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.8

$\frac{5}{6}$ と $x^{- \frac{1}{6}}$ をまとめます。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 \frac{5 x^{- \frac{1}{6}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.9

$- 3$ と $\frac{5 x^{- \frac{1}{6}}}{6}$ をまとめます。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 3 (5 x^{- \frac{1}{6}})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.10

$5$ に $- 3$ をかけます。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 15 x^{- \frac{1}{6}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{6}}$ を分母に移動させます。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 15}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.12

$3$ を $- 15$ で因数分解します。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{3 (- 5)}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.1

$3$ を $6 x^{\frac{1}{6}}$ で因数分解します。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{3 (- 5)}{3 (2 x^{\frac{1}{6}})} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.13.2

共通因数を約分します。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{3 \cdot - 5}{3 (2 x^{\frac{1}{6}})} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.13.3

式を書き換えます。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.14

分数の前に負数を移動させます。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.5.2

$1$ から $3$ を引きます。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.6

分数の前に負数を移動させます。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 5

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0$

ステップ 6.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

ステップ 6.2.2

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ と $0$ をたし算します。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}}$

微分積分 例

微分積分例