微分積分例

$y = 5 \cos (x) \sec (x^{2})$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 \cos (x) \sec (x^{2})$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sec (x^{2})]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sec (x^{2})]$

ステップ 2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \sec (x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x^{2})] + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$5 (\cos (x) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\sec (u)$ の微分係数は $\sec (u) \tan (u)$ です。

$5 (\cos (x) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$5 (\cos (x) (\sec (x^{2}) \tan (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 5

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x) + \sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x)) + 5 (\sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

ステップ 6.2

項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

$2$ に $5$ をかけます。

$10 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (x)) + 5 (\sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

ステップ 6.2.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$10 \cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) x - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$10 x \cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

ステップ 6.4

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.1

正弦と余弦に関して $\sec (x^{2})$ を書き換えます。

$10 x \cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

ステップ 6.4.2

$10 x \cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}$ を掛けます。

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ステップ 6.4.2.1

$10$ と $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ をまとめます。

$x \cos (x) \frac{10}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

ステップ 6.4.2.2

$\frac{10}{\cos (x^{2})}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{10 x}{\cos (x^{2})} \cos (x) \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

ステップ 6.4.2.3

$\frac{10 x}{\cos (x^{2})}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{10 x \cos (x)}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

ステップ 6.4.3

正弦と余弦に関して $\tan (x^{2})$ を書き換えます。

$\frac{10 x \cos (x)}{\cos (x^{2})} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

ステップ 6.4.4

まとめる。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos (x^{2}) \cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

ステップ 6.4.5

分母を簡約します。

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ステップ 6.4.5.1

$\cos (x^{2})$ を $1$ 乗します。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

ステップ 6.4.5.2

$\cos (x^{2})$ を $1$ 乗します。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

ステップ 6.4.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{{\cos (x^{2})}^{1 + 1}} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

ステップ 6.4.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

ステップ 6.4.6

正弦と余弦に関して $\sec (x^{2})$ を書き換えます。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - 5 \frac{1}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

ステップ 6.4.7

$- 5$ と $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ をまとめます。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} + \frac{- 5}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

ステップ 6.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{5}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

ステップ 6.4.9

$\sin (x)$ と $\frac{5}{\cos (x^{2})}$ をまとめます。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{\sin (x) \cdot 5}{\cos (x^{2})}$

ステップ 6.4.10

$5$ を $\sin (x)$ の左に移動させます。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

ステップ 6.5

各項を簡約します。

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ステップ 6.5.1

$\cos (x^{2})$ を $\cos^{2} (x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos (x^{2}) \cos (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

ステップ 6.5.2

分数を分解します。

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

ステップ 6.5.3

$\frac{\cos (x)}{\cos (x^{2})}$ を積として書き換えます。

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

ステップ 6.5.4

$\cos (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

ステップ 6.5.5

簡約します。

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ステップ 6.5.5.1

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

ステップ 6.5.5.2

$\frac{1}{\cos (x^{2})}$ を $\sec (x^{2})$ に変換します。

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

ステップ 6.5.6

分数を分解します。

$\frac{10 x}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

ステップ 6.5.7

$\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ を $\tan (x^{2})$ に変換します。

$\frac{10 x}{1} \tan (x^{2}) (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

ステップ 6.5.8

$10 x$ を $1$ で割ります。

$10 x \tan (x^{2}) (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

ステップ 6.5.9

分数を分解します。

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x^{2})})$

ステップ 6.5.10

$\frac{\sin (x)}{\cos (x^{2})}$ を積として書き換えます。

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

ステップ 6.5.11

$\sin (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

ステップ 6.5.12

簡約します。

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ステップ 6.5.12.1

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

ステップ 6.5.12.2

$\frac{1}{\cos (x^{2})}$ を $\sec (x^{2})$ に変換します。

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \sec (x^{2})))$

ステップ 6.5.13

$5$ を $1$ で割ります。

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (5 (\sin (x) \sec (x^{2})))$

ステップ 6.5.14

$5$ に $- 1$ をかけます。

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - 5 \sin (x) \sec (x^{2})$

微分積分 例

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