微分積分例

$y = 5 x e^{5 x} - e^{5 x}$

ステップ 1

総和則では、 $5 x e^{5 x} - e^{5 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x e^{5 x}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{5 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (x \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

ステップ 2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $5 x$ とします。

$5 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

ステップ 2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

ステップ 2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$5 (x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

ステップ 2.4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 (x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

ステップ 2.7

$5$ に $1$ をかけます。

$5 (x (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

ステップ 2.8

$5$ を $e^{5 x}$ の左に移動させます。

$5 (x (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

ステップ 2.9

$e^{5 x}$ に $1$ をかけます。

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{5 x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ です。

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x$ とします。

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 3.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

ステップ 3.5

$5$ に $1$ をかけます。

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} \cdot 5)$

ステップ 3.6

$5$ を $e^{5 x}$ の左に移動させます。

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (5 \cdot e^{5 x})$

ステップ 3.7

$5$ に $- 1$ をかけます。

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - 5 e^{5 x}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$5 (x (5 e^{5 x})) + 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$5$ に $5$ をかけます。

$25 (x (e^{5 x})) + 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x}$

ステップ 4.2.2

$5 e^{5 x}$ から $5 e^{5 x}$ を引きます。

$25 x e^{5 x} + 0$

ステップ 4.2.3

$25 x e^{5 x}$ と $0$ をたし算します。

$25 x e^{5 x}$

ステップ 4.3

$25 x e^{5 x}$ の因数を並べ替えます。

$25 e^{5 x} x$

ステップ 4.4

$25 e^{5 x} x$ の因数を並べ替えます。

$25 x e^{5 x}$

微分積分 例

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