微分積分例

$y = 5 x^{2} - 5 \sqrt{x} - \frac{3}{x}$

ステップ 1

総和則では、 $5 x^{2} - 5 \sqrt{x} - \frac{3}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

ステップ 2.3

$2$ に $5$ をかけます。

$10 x + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$10 x + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

ステップ 3.2

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$10 x - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

ステップ 3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

ステップ 3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

ステップ 3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

ステップ 3.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

ステップ 3.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$10 x - 5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

ステップ 3.10

$- 5$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$10 x + \frac{- 5 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

ステップ 3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$10 x + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

ステップ 3.12

分数の前に負数を移動させます。

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{x}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 4.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 2})$

ステップ 4.4

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 5.2

$3$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$10 x + \frac{3}{x^{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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