微分積分例

$y = 2 x \sqrt{x^{2} - 2 x + 2}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - 2 x + 2}$ を ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 2 x + 2$ とします。

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 2 x + 2$ で置き換えます。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 (x (\frac{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$2 (x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2] + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 11

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 13

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 14

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 + 0) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 15

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

ステップ 17

${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

分配則を当てはめます。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2)) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{x \cdot 2}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.2.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.2.4

式を書き換えます。

$\frac{x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.3

項を並べ替えます。

$(2 x - 2) \frac{x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.4.1

$2 x - 2$ に $\frac{x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{(2 x - 2) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.4.2

$2$ を $2 x - 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.4.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{(2 (x) - 2) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.4.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.4.2.3

$2$ を $2 (x) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x - 1) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.5

$2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{2 (x - 1) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 (x - 1) x + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.7.1

$2$ を $2 (x - 1) x + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.7.1.1

$2$ を $2 (x - 1) x$ で因数分解します。

$\frac{2 ((x - 1) x) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.7.1.2

$2$ を $2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 ((x - 1) x) + 2 ({(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.7.1.3

$2$ を $2 ((x - 1) x) + 2 ({(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{2 ((x - 1) x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x \cdot x - 1 x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.7.3

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} - 1 x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.7.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.7.5

指数を足して ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.7.5.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.7.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.7.5.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{2}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.7.5.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{1})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.7.6

${(x^{2} - 2 x + 2)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{2 (x^{2} - x + x^{2} - 2 x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.7.7

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 (2 x^{2} - x - 2 x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.7.8

$- x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{2 (2 x^{2} - 3 x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例